Sejam
e
, onde (
) é uma sequência limitada. Prove que dado
, existe
tal que
. Além disso, a é o maior e b o menor número com esta propriedade.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos uma sequência limitada . Definimos
Temos uma sequência limitada
Queremos mostrar que, para todo
, existe
tal que, para
,
e que
é o maior e
o menor número com essa propriedade. Usaremos as sequências de infimos e supremos das caudas de
.
Passo 2
Definição das sequências auxiliares e monotonicidade
Para cada definimos
Para cada
Então
é não‐decrescente e converge a
, e
é não‐crescente e converge a
. Além disso, vale sempre
Passo 3
Prova da inclusão da cauda no intervalo
Seja . Como
, existe
tal que, para todo
,
Seja
Como
, existe
tal que, para todo
,
Tomando
, para todo
temos
o que prova a primeira parte.
Passo 4
Prova de maximalidade de
Suponha que exista que também satisfaça “para todo
existe
tal que
”.
Escolha . Então há
tal que, para
,
Suponha que exista
Escolha
Isso implicaria
, de onde
, contradizendo
. Logo não existe
com a propriedade, isto é,
é o maior.
Passo 5
Prova de minimalidade de
Análogo: suponha satisfazendo “para todo
existe
tal que
”.
Tomando chega‐se à contradição
. Assim
é o menor número com a propriedade.
Análogo: suponha
Tomando
Resposta
Foi provado que, dado
, existe
tal que, para
,
e que
é o maior e
o menor número com essa propriedade.