Sejam a=\liminf x_{n} e b=\limsup x_{n}, onde ( x_{n} ) é uma sequência limitada. Prove que dado \varepsilon>0, existe n_{0} \in \mathbb{N} tal que n>n_{0} \Longrightarrow a-\varepsilon<x_{n}<b+\varepsilon. Além disso, a é o maior e b o menor número com esta propriedade.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos uma sequência limitada (x_{n}). Definimos
a = \liminf_{n\to\infty} x_{n}, \quad b = \limsup_{n\to\infty} x_{n}.
Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, para n>n_{0},
a-\varepsilon < x_{n} < b+\varepsilon,
e que a é o maior e b o menor número com essa propriedade. Usaremos as sequências de infimos e supremos das caudas de (x_{n}).

Passo 2

Definição das sequências auxiliares e monotonicidade
Para cada n\in\mathbb{N} definimos
y_{n} = \inf_{k\ge n} x_{k}, \quad z_{n} = \sup_{k\ge n} x_{k}.
Então (y_{n}) é não‐decrescente e converge a a, e (z_{n}) é não‐crescente e converge a b. Além disso, vale sempre
y_{n} \le x_{n} \le z_{n}.

Passo 3

Prova da inclusão da cauda no intervalo (a-\varepsilon,b+\varepsilon)
Seja \varepsilon>0. Como y_{n}\to a, existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
y_{n} > a - \varepsilon.
Como z_{n}\to b, existe N_{2} tal que, para todo n\ge N_{2},
z_{n} < b + \varepsilon.
Tomando n_{0} = \max\{N_{1},N_{2}\}, para todo n>n_{0} temos
a-\varepsilon < y_{n} \le x_{n} \le z_{n} < b+\varepsilon,
o que prova a primeira parte.

Passo 4

Prova de maximalidade de a
Suponha que exista \alpha>a que também satisfaça “para todo \varepsilon>0 existe n_{0} tal que n>n_{0}\implies \alpha-\varepsilon<x_{n}”.
Escolha \varepsilon = (\alpha - a)/2>0. Então há N tal que, para n>N,
x_{n} > \alpha - \varepsilon = \frac{\alpha + a}{2} > a.
Isso implicaria \inf_{k\ge N+1}x_{k}\ge(\alpha+a)/2>a, de onde \liminf x_{n}\ge(\alpha+a)/2>a, contradizendo \liminf x_{n}=a. Logo não existe \alpha>a com a propriedade, isto é, a é o maior.

Passo 5

Prova de minimalidade de b
Análogo: suponha \beta<b satisfazendo “para todo \varepsilon>0 existe n_{0} tal que n>n_{0}\implies x_{n}<\beta+\varepsilon”.
Tomando \varepsilon=(b-\beta)/2 chega‐se à contradição \limsup x_{n}<b. Assim b é o menor número com a propriedade.

Resposta

Foi provado que, dado \varepsilon>0, existe n_{0} tal que, para n>n_{0},
a-\varepsilon < x_{n} < b+\varepsilon,
e que a é o maior e b o menor número com essa propriedade.

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