Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (não há limites de integração).
- O enunciado pede explicitamente para usar mudança de variável e confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta à função integranda.
Passo 2
Ideia da mudança de variável (por que escolher uma certa
).
Quando a integranda tem uma composição do tipo multiplicada por algo que é proporcional a
, é natural definir
. Aqui
. Calculando
temos
, que aparece multiplicando
na integranda. Portanto a substituição vai simplificar muito a integral.
Quando a integranda tem uma composição do tipo
Passo 3
Definir a mudança de variável e relacionar os diferenciais:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Aqui
é a nova variável;
representa um diferencial ligado a
pela igualdade acima. Note que a parte
da integranda é exatamente
.
Passo 4
Substituir na integral original usando
e
. A integranda
fica, com a substituição:
Portanto a integral transforma-se em uma integral em
:
Passo 5
Calcular
usando a regra de potência.
Regra de potência para primitiva: para ,
Regra de potência para primitiva: para
Aqui
, logo
Expliquei:
significa que somamos 1 ao expoente (ficando
) e dividimos por esse novo expoente (
), além de adicionar a constante de integração
.
Passo 6
Voltar à variável original substituindo
:
Portanto uma primitiva da integranda é
.
Passo 7
Confirmar derivando a primitiva (verificação pelo cálculo da derivada).
Se , aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Se
Calcule
. Portanto
que é exatamente a função integranda original. A verificação está feita.
Passo 8
Observações finais e reforço didático (curto):
- A chave foi identificar
porque sua derivada aparece multiplicando. - A técnica geral: sempre que houver uma função composta elevada a uma potência e o fator multiplicativo for a derivada interna (ou constante múltipla dela), a substituição
parte interna simplifica a integral. - Não esquecer da constante de integração
em integrais indefinidas.