Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int\left(x^{2}+4\right)^{2} \cdot 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+4\right)^{2}\cdot 2x\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é \left(x^{2}+4\right)^{2}\cdot 2x.
  • Trata-se de uma integral indefinida (não há limites de integração).
  • O enunciado pede explicitamente para usar mudança de variável e confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta à função integranda.

Passo 2

Ideia da mudança de variável (por que escolher uma certa u).
Quando a integranda tem uma composição do tipo \varphi(x)^{n} multiplicada por algo que é proporcional a \varphi'(x), é natural definir u=\varphi(x). Aqui \varphi(x)=x^{2}+4. Calculando \varphi'(x) temos \varphi'(x)=2x, que aparece multiplicando \varphi(x)^{2} na integranda. Portanto a substituição vai simplificar muito a integral.

Passo 3

Definir a mudança de variável e relacionar os diferenciais:
u = x^{2}+4.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx}=2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Aqui u é a nova variável; du representa um diferencial ligado a dx pela igualdade acima. Note que a parte 2x\,dx da integranda é exatamente du.

Passo 4

Substituir na integral original usando u e du. A integranda \left(x^{2}+4\right)^{2}\cdot 2x\,dx fica, com a substituição:
\left(x^{2}+4\right)^{2}\cdot 2x\,dx = u^{2}\,du.
Portanto a integral transforma-se em uma integral em u:
\int\left(x^{2}+4\right)^{2}\cdot 2x\,dx = \int u^{2}\,du.

Passo 5

Calcular \int u^{2}\,du usando a regra de potência.
Regra de potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, logo
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Expliquei: u^{2} significa que somamos 1 ao expoente (ficando 3) e dividimos por esse novo expoente ( 3), além de adicionar a constante de integração C.

Passo 6

Voltar à variável original substituindo u=x^{2}+4:
\frac{u^{3}}{3}+C = \frac{(x^{2}+4)^{3}}{3}+C.
Portanto uma primitiva da integranda é \dfrac{(x^{2}+4)^{3}}{3}+C.

Passo 7

Confirmar derivando a primitiva (verificação pelo cálculo da derivada).
Se F(x)=\dfrac{(x^{2}+4)^{3}}{3}+C, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\,(x^{2}+4)^{2}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}+4).
Calcule \dfrac{d}{dx}(x^{2}+4)=2x. Portanto
F'(x)=(x^{2}+4)^{2}\cdot 2x,
que é exatamente a função integranda original. A verificação está feita.

Passo 8

Observações finais e reforço didático (curto):
  • A chave foi identificar u=x^{2}+4 porque sua derivada 2x aparece multiplicando.
  • A técnica geral: sempre que houver uma função composta elevada a uma potência e o fator multiplicativo for a derivada interna (ou constante múltipla dela), a substituição u= parte interna simplifica a integral.
  • Não esquecer da constante de integração C em integrais indefinidas.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^{2}+4)^{3}}{3}+C

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