Considere a sequência definida recursivamente por
e
.
a) Mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.
b) Sabendo que ela é monótona e limitada, ela é convergente. Encontre o seu limite.
a) Mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.
b) Sabendo que ela é monótona e limitada, ela é convergente. Encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Vamos usar o Teorema da Convergência Monótona: provamos que
é crescente e limitada superiormente, daí ela converge e seu limite satisfaz a relação de recorrência.
Passo 2
Mostramos que
é crescente por indução.
Base :
Base
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo
é estritamente crescente.
Passo 3
Mostramos que
é limitada superiormente por
por indução.
Base :
Base
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim
para todo
.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência Monótona,
converge para algum
. Tomando limite na relação de recorrência,
Elevando ao quadrado,
As soluções são
ou
, e como
temos
Resposta
O limite da sequência é
.