Considere a sequência definida recursivamente por a_{1}=\sqrt{2} e a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}.
a) Mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.
b) Sabendo que ela é monótona e limitada, ela é convergente. Encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{1} = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}}.
Vamos usar o Teorema da Convergência Monótona: provamos que (a_n) é crescente e limitada superiormente, daí ela converge e seu limite satisfaz a relação de recorrência.

Passo 2

Mostramos que (a_n) é crescente por indução.
Base n=1:
a_{2} = \sqrt{2 + a_{1}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_{1}.
Passo indutivo: suponha a_{n} > a_{n-1}. Então
2 + a_{n} > 2 + a_{n-1} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2 + a_{n}} > \sqrt{2 + a_{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1} > a_{n}.
Logo (a_n) é estritamente crescente.

Passo 3

Mostramos que (a_n) é limitada superiormente por 2 por indução.
Base n=1:
a_{1} = \sqrt{2} < 2.
Passo indutivo: suponha a_{n} < 2. Então
2 + a_{n} < 4 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2 + a_{n}} < 2 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1} < 2.
Assim a_n < 2 para todo n.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência Monótona, (a_n) converge para algum L. Tomando limite na relação de recorrência,
L = \sqrt{2 + L}.
Elevando ao quadrado,
L^2 = 2 + L \quad\Longrightarrow\quad L^2 - L - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
As soluções são L=2 ou L=-1, e como a_n>0 temos
L = 2.

Resposta

O limite da sequência é 2.

Exercícios relacionados