Para a sequência cujos primeiros termos são
, encontre uma fórmula para o termo geral
e determine os próximos dois termos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede (i) uma fórmula para o termo geral e (ii) os dois próximos termos.
Vamos analisar separadamente numeradores e denominadores, usando reconhecimento de padrão para os numeradores e diferença de termos para ajustar um polinômio quadrático nos denominadores.
e pede (i) uma fórmula para o termo geral
Vamos analisar separadamente numeradores e denominadores, usando reconhecimento de padrão para os numeradores e diferença de termos para ajustar um polinômio quadrático nos denominadores.
Passo 2
Observando os numeradores
, reconhecemos
Logo o numerador geral é
.
Passo 3
Agora os denominadores
. As diferenças sucessivas são
que aumentam em
a cada passo. Isso indica um termo de forma
.
Para temos o sistema
Para
Subtraindo as equações sucessivas e resolvendo, obtemos
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Com numerador
e denominador
, concluímos
Para os próximos termos, tomamos
e
:
Resposta
A fórmula do termo geral é
e os dois termos seguintes são