Para a sequência cujos primeiros termos são \left\{-\frac{1}{3}, \frac{8}{9},-\frac{27}{19}, \frac{64}{33}, \ldots\right\}, encontre uma fórmula para o termo geral a_{n} e determine os próximos dois termos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{8}{9},\,-\tfrac{27}{19},\,\tfrac{64}{33},\dots\}
e pede (i) uma fórmula para o termo geral a_n e (ii) os dois próximos termos.
Vamos analisar separadamente numeradores e denominadores, usando reconhecimento de padrão para os numeradores e diferença de termos para ajustar um polinômio quadrático nos denominadores.

Passo 2

Observando os numeradores -1,\,8,\,-27,\,64,\dots, reconhecemos
-1 = (-1)^1\cdot1^3,\quad 8 = (-1)^2\cdot2^3,\quad -27 = (-1)^3\cdot3^3,\quad 64 = (-1)^4\cdot4^3.
Logo o numerador geral é (-1)^n\,n^3.

Passo 3

Agora os denominadores 3,\,9,\,19,\,33,\dots. As diferenças sucessivas são
9-3=6,\quad 19-9=10,\quad 33-19=14,
que aumentam em 4 a cada passo. Isso indica um termo de forma b_n = an^2 + bn + c.
Para n=1,2,3 temos o sistema
a + b + c = 3,
4a + 2b + c = 9,
9a + 3b + c = 19.
Subtraindo as equações sucessivas e resolvendo, obtemos a=2, b=0, c=1.
Portanto
b_n = 2n^2 + 1.

Passo 4

Com numerador (-1)^n n^3 e denominador 2n^2+1, concluímos
a_n = \frac{(-1)^n\,n^3}{2n^2 + 1}.
Para os próximos termos, tomamos n=5 e n=6:
a_5 = \frac{(-1)^5\cdot5^3}{2\cdot5^2+1} = -\frac{125}{50+1} = -\frac{125}{51},
a_6 = \frac{(-1)^6\cdot6^3}{2\cdot6^2+1} = \frac{216}{72+1} = \frac{216}{73}.

Resposta

A fórmula do termo geral é
a_n = \frac{(-1)^n\,n^3}{2n^2 + 1},
e os dois termos seguintes são
a_5 = -\frac{125}{51},\quad a_6 = \frac{216}{73}.

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