Use a Regra de L’Hôpital para determinar se a sequência
converge. Se sim, qual o seu limite? (Dica: reescreva o termo geral para obter uma indeterminação do tipo
).
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
e determinar, via Regra de L’Hôpital, se ela converge e qual é seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência e uso da Regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo
.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral de modo a obter uma razão que tende a
:
Quando
, temos
e
, caracterizando a indeterminação
.
Passo 3
Para aplicar L’Hôpital estendemos a
real e consideramos
Derivando numerador e denominador em relação a
:
derivada do numerador = ,
derivada do denominador = .
Pela Regra de L’Hôpital,
derivada do numerador =
derivada do denominador =
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 4
Como
quando
e
, segue que
Logo, a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e