Use a Regra de L’Hôpital para determinar se a sequência a_{n}=n \tan \left(\frac{1}{n}\right) converge. Se sim, qual o seu limite? (Dica: reescreva o termo geral para obter uma indeterminação do tipo \frac{0}{0} ).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n}=n\tan\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)
e determinar, via Regra de L’Hôpital, se ela converge e qual é seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência e uso da Regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a obter uma razão que tende a 0/0:
a_{n} = n\tan\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr) = \frac{\tan\bigl(\frac{1}{n}\bigr)}{\frac{1}{n}}.
Quando n\to\infty, temos \tan(1/n)\to0 e 1/n\to0, caracterizando a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital estendemos a n real e consideramos
\lim_{x\to\infty}\frac{\tan(1/x)}{1/x}.
Derivando numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador = \operatorname{sec}^2(1/x)\cdot(-1/x^2),
derivada do denominador = -1/x^2.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\tan(1/x)}{1/x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sec}^2(1/x)\,(-1/x^2)}{-1/x^2} = \lim_{x\to\infty}\operatorname{sec}^2\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 4

Como \tfrac{1}{x}\to0 quando x\to\infty e \operatorname{sec}^2(0)=1, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} =1.
Logo, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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