Utilize o Teorema do Confronto (ou Sanduíche) para determinar a convergência e o limite da sequência a_{n}=\frac{n!\cos (n)}{n^{n}}. Justifique detalhadamente a escolha das sequências para o confronto.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e encontrar o limite da sequência
a_{n} = \frac{n!\,\cos(n)}{n^{n}}
usando o Teorema do Confronto (ou Sanduíche). O conteúdo principal é utilizar uma estimativa para \cos(n) e comparar (a_n) com uma sequência que tenha limite conhecido.

Passo 2

Como para todo inteiro n vale
|\cos(n)| \le 1,
temos
|a_n| = \left|\frac{n!\,\cos(n)}{n^{n}}\right| \le \frac{n!}{n^{n}}.
Definimos então a sequência de comparação
b_n = \frac{n!}{n^{n}}.

Passo 3

Agora mostramos que \lim_{n\to\infty}b_n=0. Para isso, calculamos o quociente entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = e^{-1}<1,
fica claro que, a partir de algum N, o quociente \frac{b_{n+1}}{b_n} é menor que uma constante r<1. Logo (b_n) decai geometricamente e converge a zero:
\lim_{n\to\infty}b_n = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como para todo n
-|b_n|\le a_n\le |b_n|
e \lim_{n\to\infty}b_n=0, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n!\cos(n)}{n^{n}} converge e seu limite é 0.

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