Utilize o Teorema do Confronto (ou Sanduíche) para determinar a convergência e o limite da sequência a_{n}=\frac{n!\cos (n)}{n^{n}}. Justifique detalhadamente a escolha das sequências para o confronto.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência e encontrar o limite da sequência
a_{n} = \frac{n!\,\cos(n)}{n^{n}}
usando o Teorema do Confronto (ou Sanduíche). O conteúdo principal é utilizar uma estimativa para \cos(n) e comparar (a_n) com uma sequência que tenha limite conhecido.
fica claro que, a partir de algum N, o quociente \frac{b_{n+1}}{b_n} é menor que uma constante r<1. Logo (b_n) decai geometricamente e converge a zero:
\lim_{n\to\infty}b_n = 0.
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, como para todo n
-|b_n|\le a_n\le |b_n|
e \lim_{n\to\infty}b_n=0, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Resposta
A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n!\cos(n)}{n^{n}} converge e seu limite é 0.