Considere a sequencia de Fibonacci an+2=an+1+an, a1=a2=1.
Mostre que an+1 / an<2 para todo n inteiro positivo.

Passo 1

A sequência de Fibonacci é dada por an+2=an+1+an com a1=a2=1. Queremos mostrar que a razão an+1/an<2 para todo inteiro positivo n. Para isso, vamos precisar usar a propriedade de positividade e crescimento estrito dos termos de Fibonacci.

Passo 2

Primeiro, note que cada termo de Fibonacci é positivo. De fato, a1=a2=1>0 e, supondo an>0 e an-1>0, temos
an+1=an+an-1>0
Isso garante também que, para todo n>=2,
an+1=an+an-1>an
ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Agora, para n>=2, escrevemos a razão desejada como
an+1an=1+an-1an
Como a sequência é estritamente crescente, an-1 e, portanto, an-1/an<1. Logo,
an+1an<1+1=2

Passo 4

Falta apenas verificar o caso n=1. Temos
a2a1=11=1<2
Portanto, combinando esse caso com o argumento acima, concluímos que an+1/an<2 para todo inteiro positivo n.

Resposta

Para todo inteiro positivo n, vale an+1/an<2.

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