Considere a sequencia de Fibonacci
.
Mostre que
para todo
inteiro positivo.
Mostre que
Passo 1
A sequência de Fibonacci é dada por
com
. Queremos mostrar que a razão
para todo inteiro positivo
. Para isso, vamos precisar usar a propriedade de positividade e crescimento estrito dos termos de Fibonacci.
Passo 2
Primeiro, note que cada termo de Fibonacci é positivo. De fato,
e, supondo
e
, temos
Isso garante também que, para todo
,
ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Agora, para
, escrevemos a razão desejada como
Como a sequência é estritamente crescente,
e, portanto,
. Logo,
Passo 4
Falta apenas verificar o caso
. Temos
Portanto, combinando esse caso com o argumento acima, concluímos que
para todo inteiro positivo
.
Resposta
Para todo inteiro positivo
, vale
.