Questão 3. Suponha que , para todo e . Encontre . Utilizando a curva , calcule a integral de linha do campo de vetores
ao longo do caminho de a .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial com a segunda derivada para todo real. Além disso, temos as condições iniciais e . O que precisamos encontrar primeiro é , ou seja, a posição da curva quando .
Depois disso, usando essa curva , vamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial específico ao longo do caminho de a . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de funções vetoriais e resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função a partir da segunda derivada . Para isso, precisamos integrar duas vezes.
A integração de nos dá a primeira derivada , que representa a velocidade:
Aqui, são constantes de integração que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos a condição inicial da velocidade :
Então, temos:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar para encontrar :
Aqui, são novas constantes de integração que serão determinadas usando a condição inicial da posição.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial da posição :
Então, temos:
Portanto, a função posição fica:
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar substituindo :
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho de a .
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é dada por:
Onde:
é o campo vetorial avaliado na curva.
é a derivada da curva.
e são os limites de .
Passo 8
Vamos primeiro encontrar . Substituindo em :
Passo 9
Vamos também lembrar da derivada . Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 10
Finalmente, integramos essa expressão de a :
Vamos resolver essa integral em duas partes:
Passo 11
Para a primeira parte, observamos que pode ser resolvida por substituição:
Deixe , então . Isso simplifica a integral para:
Então, de a :
Passo 12
Para a segunda parte, integramos integral [4 (t + 4)^3 + 3] , dt = 4 cdot (t + 4)^44 + 3t + C = (t + 4)^4 + 3t + C :