Questão 3. Suponha que r^prime prime(t)=(6,0,0), para todo t in R, r(0)=(0,3,4) e r^prime(0)=(0,0,1). Encontre r(1). Utilizando a curva r(t), calcule a integral de linha do campo de vetores
F(x, y, z)=(pi cos (pi x)) i+(3 y^2+z) j+(4 z^3+y) k
ao longo do caminho r(t) de t=0 a t=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial com a segunda derivada para todo real. Além disso, temos as condições iniciais e . O que precisamos encontrar primeiro é , ou seja, a posição da curva quando .
Depois disso, usando essa curva , vamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial específico ao longo do caminho de a . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de funções vetoriais e resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função r'(t) = integral r''(t) , dt = integral (6, 0, 0) , dt = (6t + C1, C2, C3) a partir da segunda derivada . Para isso, precisamos integrar duas vezes.
A integração de nos dá a primeira derivada , que representa a velocidade:
Aqui, são constantes de integração que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos a condição inicial da velocidade r'(0) = (6 cdot 0 + C1, C2, C3) = (C1, C2, C3) = (0, 0, 1) :
C1 = 0, C2 = 0, C3 = 1
Então, temos:
r'(t) = (6t, 0, 1)
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar r(t) = integral r'(t) , dt = integral (6t, 0, 1) , dt = (3t^2 + D1, D2, t + D3) para encontrar :
Aqui, são novas constantes de integração que serão determinadas usando a condição inicial da posição.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial da posição r(0) = (3 cdot 0^2 + D1, D2, 0 + D3) = (D1, D2, D3) = (0, 3, 4) :
D1 = 0, D2 = 3, D3 = 4
Então, temos:
r(t) = (3t^2, 3, t + 4)
Portanto, a função posição fica:

Passo 6

Agora que temos r(1) = (3 cdot 1^2, 3, 1 + 4) = (3, 3, 5) , podemos encontrar substituindo :

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo vetorial integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt ao longo do caminho de a .
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é dada por:
Onde:
  • é o campo vetorial avaliado na curva.
  • é a derivada da curva.
  • e são os limites de .

Passo 8

Vamos primeiro encontrar F(r(t)) = ( pi cos (3pi t^2), 3 cdot 3^2 + (t + 4), 4 (t + 4)^3 + 3 ) . Substituindo = ( pi cos (3pi t^2), 27 + t + 4, 4 (t + 4)^3 + 3 ) em = ( pi cos (3pi t^2), t + 31, 4 (t + 4)^3 + 3 ) :

Passo 9

Vamos também lembrar da derivada F(r(t)) cdot r'(t) = pi cos (3pi t^2) cdot 6t + (t + 31) cdot 0 + (4 (t + 4)^3 + 3) cdot 1 . Agora, calculamos o produto escalar = 6pi t cos (3pi t^2) + 0 + 4 (t + 4)^3 + 3 :
= 6pi t cos (3pi t^2) + 4 (t + 4)^3 + 3

Passo 10

Finalmente, integramos essa expressão de integral0^1 [6pi t cos (3pi t^2) + 4 (t + 4)^3 + 3] , dt a :
Vamos resolver essa integral em duas partes:

Passo 11

Para a primeira parte, observamos que integral cos u , du = sin u + C = sin (3pi t^2) + C pode ser resolvida por substituição:
Deixe sin (3pi t^2) |0^1 = sin (3pi) - sin (0) = 0 - 0 = 0 , então . Isso simplifica a integral para:
Então, de a :

Passo 12

Para a segunda parte, integramos integral [4 (t + 4)^3 + 3] , dt = 4 cdot (t + 4)^44 + 3t + C = (t + 4)^4 + 3t + C :
(1 + 4)^4 + 3 cdot 1 - (0 + 4)^4 + 3 cdot 0) = 5^4 + 3 - 4^4 + 0 = 625 + 3 - 256 = 372
Avaliado de a :

Passo 13

Somando as duas partes da integral:
0 + 372 = 372

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho de a é igual a 372.

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