Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Para qualquer campo de vetores F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
|div F(x, y, z)| <=|rot F(x, y, z)|

Passo 1

Beleza, vamos olhar essa afirmação juntos! O enunciado está falando sobre campos de vetores e compara duas coisas: a divergência de um campo vectorial e o rotacional desse mesmo campo . A tarefa é dizer se essa desigualdade é verdadeira ou falsa para qualquer campo de vetores, justificando nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são divergência e rotacional:
  • Divergência ( ): Mede a taxa na qual o campo vetorial “sai” de um ponto. Imagine que está descrevendo o fluxo de água; a divergência diria se a água está fluindo para fora ou para dentro de um ponto.
  • Rotacional ( ou ): Mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Usando a mesma analogia da água, o rotacional diria se a água está formando um redemoinho.

Passo 3

Agora, vamos analisar a desigualdade . Essa afirmação sugere que, em qualquer campo vetorial, o tamanho da divergência nunca será maior que o tamanho do rotacional.

Passo 4

Para verificar se isso é sempre verdade, vamos considerar um exemplo simples. Imagine o campo vetorial div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z = partial xpartial x + 0 + 0 = 1 . Vamos calcular a divergência e o rotacional desse campo:
  • Divergência:
    rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k = 0,i + 0,j + 0,k = 0
  • Rotacional:

Passo 5

No exemplo acima, temos:
|div F| = |1| = 1
|rot F| = | 0 | = 0
Claramente, , o que viola a desigualdade proposta.

Resposta

Falso. A desigualdade não é válida para todos os campos de vetores, como mostrado no exemplo onde e .

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