Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Para qualquer campo de vetores
Para qualquer campo de vetores
Passo 1
Beleza, vamos olhar essa afirmação juntos! O enunciado está falando sobre campos de vetores e compara duas coisas: a divergência de um campo vectorial
e o rotacional desse mesmo campo
. A tarefa é dizer se essa desigualdade
é verdadeira ou falsa para qualquer campo de vetores, justificando nossa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são divergência e rotacional:
-
Divergência (
): Mede a taxa na qual o campo vetorial “sai” de um ponto. Imagine que está descrevendo o fluxo de água; a divergência diria se a água está fluindo para fora ou para dentro de um ponto. -
Rotacional (
ou ): Mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Usando a mesma analogia da água, o rotacional diria se a água está formando um redemoinho.
Passo 3
Agora, vamos analisar a desigualdade
. Essa afirmação sugere que, em qualquer campo vetorial, o tamanho da divergência nunca será maior que o tamanho do rotacional.
Passo 4
Para verificar se isso é sempre verdade, vamos considerar um exemplo simples. Imagine o campo vetorial
. Vamos calcular a divergência e o rotacional desse campo:
-
Divergência:
-
Rotacional:
Passo 5
No exemplo acima, temos:
Claramente,
, o que viola a desigualdade proposta.
Resposta
Falso. A desigualdade
não é válida para todos os campos de vetores, como mostrado no exemplo onde
e
.