Considere a sequencia de Fibonacci
.
Defina a série
.
Assim temos
Use o critério da razão para mostrar que essa série converge para
.
Defina a série
Assim temos
Passo 1
Então, temos a série de potências definida por
onde
Passo 2
O critério da razão diz que, se
é o enésimo termo da série, basta analisarmos
e concluir que a série converge se
L<1 . Aqui o termo geral é
Tn=an x^n-1 .
Passo 3
Calculemos a razão entre termos sucessivos:
Então precisamos estimar
an+1/an .
Passo 4
Pela definição de Fibonacci,
de modo que
Como
an-1 para todo
n>=2 , temos
e, portanto,
Isso implica
Passo 5
Pelo critério da razão, a série converge sempre que o limite superior da razão for menor que 1. Aqui conseguimos
Logo a condição de convergência é
Resposta
A série converge para |x| < 1/2.