Considere a sequencia de Fibonacci an+2=an+1+an, a1=a2=1.
Defina a série f(x)=sumn=1^infty an x^n-1.
Assim temos
f(x)=1+x+2 x^2+3 x^3+5 x^4+8 x^5+cdots+an+1 x^n+cdots
Use o critério da razão para mostrar que essa série converge para |x|<1 / 2.

Passo 1

Então, temos a série de potências definida por
f(x)=sumn=1^inftyan x^n-1,
onde an é a sequência de Fibonacci ( an+2=an+1+an, a1=a2=1). Vamos usar o critério da razão para descobrir para quais x a série converge.

Passo 2

O critério da razão diz que, se Tn é o enésimo termo da série, basta analisarmos
L=limsupntoinfty|Tn+1Tn|
e concluir que a série converge se L<1. Aqui o termo geral é Tn=an x^n-1.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos sucessivos:
|Tn+1Tn|= rac|an+1 x^n||an x^n-1|= racan+1an,|x|
Então precisamos estimar an+1/an.

Passo 4

Pela definição de Fibonacci,
an+1=an+an-1
de modo que
an+1an=1+an-1an
Como an-1 para todo n>=2, temos
0
e, portanto,
1
Isso implica
|Tn+1Tn|<2|x|

Passo 5

Pelo critério da razão, a série converge sempre que o limite superior da razão for menor que 1. Aqui conseguimos
limsupntoinfty|Tn+1Tn|<=2|x|<1
Logo a condição de convergência é
2|x|<1Longrightarrow|x|

Resposta

A série converge para |x| < 1/2.

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