Seja
a distância de
ao inteiro mais próximo de
. Por exemplo
,
, etc.
Mostre que a série
converge para todo
e que a função definida por essa série é contínua.
Mostre que a série
Passo 1
O enunciado define a função $
\ como a distância de um real x ao inteiro mais próximo. A série em questão é \, onde
. Vamos usar teoria de séries de funções: teste de comparação, teste de Weierstrass (M-teste) e o fato de que limite uniforme de funções contínuas é contínuo.
Passo 2
Primeiro mostro que a série converge absolutamente para todo x. Note que, por definição de distância ao inteiro mais próximo, sempre
. Logo
Passo 3
$
Passo 4
A série numérica $\ é convergente, pois é uma p-série com p=2>1. Portanto \ converge absolutamente para todo x.
Passo 5
Como encontramos uma sequência $M_n=1/(2n^2)$ tal que $ |f_n(x)|\le M_n $ independente de x e
convergente, pelo teste de Weierstrass a série converge uniformemente em
.
Passo 6
Para concluir a continuidade, observo que a função $[x]$\ é contínua em
(ela só muda de expressão em pontos de meia-inteiro, mas lá as duas definições coincidem). Portanto cada
\ é contínua. Pelo teorema do limite uniforme, a soma limite de funções contínuas é contínua. Assim, a função soma da série é contínua em
.
Resposta
A série \ converge absolutamente e uniformemente, e como é limite uniforme de funções contínuas, sua soma é contínua em $\mathbb{R}$.