Seja [x] a distância de x in R ao inteiro mais próximo de x. Por exemplo [1 / 3]=1 / 3,[1 / 2]=1 / 2, [10]=0[pi]=pi-3, etc.
Mostre que a série sumn=1^infty fn(x) converge para todo x e que a função definida por essa série é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função $ x\ como a distância de um real x ao inteiro mais próximo. A série em questão é \, onde . Vamos usar teoria de séries de funções: teste de comparação, teste de Weierstrass (M-teste) e o fato de que limite uniforme de funções contínuas é contínuo.

Passo 2

Primeiro mostro que a série converge absolutamente para todo x. Note que, por definição de distância ao inteiro mais próximo, sempre . Logo

Passo 3

$ |fn(x)|=[n x]n^2<=12n^2

Passo 4

A série numérica $\ é convergente, pois é uma p-série com p=2>1. Portanto \ converge absolutamente para todo x.

Passo 5

Como encontramos uma sequência $M_n=1/(2n^2)$ tal que $ |f_n(x)|\le M_n $ independente de x e Mn=1/(2n^2) convergente, pelo teste de Weierstrass a série converge uniformemente em |fn(x)|<= Mn .

Passo 6

Para concluir a continuidade, observo que a função $[x]$\ é contínua em [x] (ela só muda de expressão em pontos de meia-inteiro, mas lá as duas definições coincidem). Portanto cada \ é contínua. Pelo teorema do limite uniforme, a soma limite de funções contínuas é contínua. Assim, a função soma da série é contínua em .

Resposta

A série \ converge absolutamente e uniformemente, e como é limite uniforme de funções contínuas, sua soma é contínua em $\mathbb{R}$.

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