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Importante
Justifique com argumentos matemáticos cada resposta dada.
Encontre o valor de b (Justificando!!!) para o qual temos verdadeira a equação
e^b+e^2 b+e^3 b+cdots=7

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de b tal que a série infinita e^b+e^2b+e^3b+cdots seja igual a 7. O conteúdo aqui é soma de uma série geométrica infinita, e vamos precisar da condição de convergência e da fórmula S=tfraca1-r.

Passo 2

Primeiro, identificamos que os termos formam uma série geométrica de primeiro termo a=e^b e razão r=e^b. Para a série convergir, é preciso ter |r|<1, ou seja:
e^b<1
Isso implica b<0.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
sumn=1^inftye^bn=e^b1-e^b=7
Multiplicando ambos os lados por 1-e^b e rearranjando, temos:
e^b=7,(1-e^b)Rightarrow e^b=7-7e^bRightarrow 8e^b=7Rightarrow e^b=78

Passo 4

Finalmente, aplicamos o logaritmo natural para isolar b:
b=lnl(78r)
Note que ln(7/8)<0, portanto satisfaz a condição de convergência.

Passo 5

Resposta

b=lnl(tfrac78r)

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