Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Existe um campo de vetores F em R^3 cujo rotacional é dado por
rot F(x, y, z)=5 x i-11 y j+7 z k

Passo 1

O enunciado diz que existe um campo de vetores em R^3 cujo rotacional é dado por rotF=(5x),i+(-11y),j+(7z),k. O conteúdo envolve operadores vetoriais (rotacional e divergente) e vamos usar a propriedade que relaciona divergente e rotacional.

Passo 2

Para qualquer campo de vetores F suficientemente suave vale a identidade div(rotF)=0. Essa é uma propriedade geral que diz que o divergente de um rotacional é sempre zero.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo proposto G=rotF. Temos
divG=partialpartial x(5x)+partialpartial y(-11y)+partialpartial z(7z)=5-11+7=1

Passo 4

Como o resultado é 1 e não zero, isso contradiz a identidade div(rotF)=0. Portanto, não existe tal campo F.

Resposta

Falso. Não existe porque div(rotF) deveria ser zero, mas o cálculo dá 1.

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