Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Existe um campo de vetores
em
cujo rotacional é dado por
Existe um campo de vetores
Passo 1
O enunciado diz que existe um campo de vetores em
cujo rotacional é dado por
. O conteúdo envolve operadores vetoriais (rotacional e divergente) e vamos usar a propriedade que relaciona divergente e rotacional.
Passo 2
Para qualquer campo de vetores
suficientemente suave vale a identidade
. Essa é uma propriedade geral que diz que o divergente de um rotacional é sempre zero.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo proposto
. Temos
Passo 4
Como o resultado é
e não zero, isso contradiz a identidade
. Portanto, não existe tal campo
.
Resposta
Falso. Não existe porque
deveria ser zero, mas o cálculo dá 1.