Considere a sequencia de Fibonacci
.
Mostre que se
temos
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a função geratriz da sequência de Fibonacci definida por
,
. Vamos mostrar que, para
, essa geratriz satisfaz
. Usaremos manipulação de séries de potências e a relação de recorrência.
Passo 2
Definimos a função geratriz como
onde convergência absoluta vale para
.
Passo 3
Multiplicamos
por
e por
para alinhar índices:
Passo 4
Aplicamos a relação de recorrência subtraindo as séries:
Passo 5
Como
, temos
e daí se isola
Resposta
Para |x|<1/2, f(x)=1/(1 - x - x^2).