Considere a sequencia de Fibonacci an+2=an+1+an, a1=a2=1.
Mostre que se |x|<1 / 2 temos
f(x)=11-x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a função geratriz da sequência de Fibonacci definida por an+2=an+1+an, a1=a2=1. Vamos mostrar que, para |x|<1/2, essa geratriz satisfaz f(x)=1/(1-x-x^2). Usaremos manipulação de séries de potências e a relação de recorrência.

Passo 2

Definimos a função geratriz como
f(x)= sumn=1^inftyan,x^n-1 = a1 + a2x + a3x^2 + a4x^3 + cdots =1 + x + 2x^2 + 3x^3 + cdots
onde convergência absoluta vale para |x|<1/varphiapprox0,618>1/2.

Passo 3

Multiplicamos f(x) por x e por x^2 para alinhar índices:
x,f(x)= a1x + a2x^2 + a3x^3 + cdots = x + x^2 + 2x^3 + cdots,
x^2,f(x)= a1x^2 + a2x^3 + a3x^4 + cdots = x^2 + x^3 + 2x^4 + cdots

Passo 4

Aplicamos a relação de recorrência subtraindo as séries:
f(x) - x f(x) - x^2 f(x) = (1) + (1-1)x + sumn=2^inftyl(an+1-an - an-1r)x^n =1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Como f(x)-x f(x)-x^2 f(x)=1, temos
f(x)igl(1 - x - x^2r) = 1 
e daí se isola
f(x)=11 - x - x^2

Resposta

Para |x|<1/2, f(x)=1/(1 - x - x^2).

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