Seja a distância de ao inteiro mais próximo de . Por exemplo , , etc.
Esboce o gráfico de .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função que mede a distância de cada real ao inteiro mais próximo. O conteúdo aqui envolve funções periódicas e definição de distância em . Vamos usar a ideia de arredondar ao inteiro mais próximo e expressar como valor absoluto.
Passo 2
Para formalizar, seja o inteiro mais próximo de . Pela definição de distância ao inteiro mais próximo, temos
Passo 3
Agora observamos o comportamento em um intervalo genérico. Sejam nin Z e o intervalo
In=[n-tfrac12,,n+tfrac12]
Em In, o inteiro mais próximo de x é n. Logo, em cada In vale
f(x)=|x-n|
Passo 4
Com esta expressão, vemos que em cada In o gráfico é um “V” com vértice em x=n, onde f(n)=0, e atinge valor máximo f(npmtfrac12)=tfrac12. São segmentos lineares ligando (n-tfrac12,tfrac12) a (n,0) e de (n,0) a (n+tfrac12,tfrac12).
Como isso se repete para todo nin Z, o gráfico é uma onda triangular periódica de período 1, zeros em todos os inteiros e picos de altura 1/2 nos seminteiros.
Resposta
O gráfico de f(x)=[x] é uma onda triangular periódica de período 1 e amplitude 1/2, dada por
f(x)=|x-round(x)|,
ou seja, em cada intervalo [n-tfrac12,n+tfrac12] temos f(x)=|x-n|, com zeros em x=n e máximos f(npmtfrac12)=tfrac12.