Considere a sequência de funções fn(x)=x^n-x^2 n no intervalo [0,1].
Calcule o limite pontual f(x0)=lim n infty fn(x0).

Passo 1

Na primeira etapa resumimos o enunciado: temos a sequência de funções fn(x)=x^n-x^2n definida no intervalo [0,1] e queremos calcular o limite pontual f(x0)=limntoinftyfn(x0). O conteúdo aqui é limite de sequências de funções e comportamento de potências em [0,1].

Passo 2

Na segunda etapa fixamos um ponto x0in[0,1]. Para encontrar limntoinftyfn(x0), vamos analisar separadamente as parcelas x0^n e x0^2n conforme n cresce.

Passo 3

Na terceira etapa usamos o fato de que, se |a|<1, então limntoinftya^n=0. Como para todo 0<= x0<1 temos |x0|<1, segue que limntoinftyx0^n=0 e também limntoinftyx0^2n=0. Logo, para x0in[0,1), limntoinftyfn(x0)=0-0=0.

Passo 4

Na quarta etapa consideramos o caso x0=1. Aí 1^n=1 e 1^2n=1 para todo n, portanto fn(1)=1-1=0 e o limite também é zero.

Passo 5

Na quinta etapa juntamos os dois casos: tanto para 0<= x0<1 quanto para x0=1, o limite pontual é igual a zero.

Resposta

A função limite é f(x)=0 para todo xin[0,1].

Exercícios relacionados