Considere a sequencia de funções contínuas definida por
Calcule a primitiva de fn, i.e., calcule integral fn(x) d x.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de uma função contínua por partes fn:[0,1]toR, definida em três trechos. O conteúdo aqui é integração (obtendo antiderivada) de uma função definida por partes, e vamos precisar calcular integrais em cada intervalo, tomando cuidado para que as constantes garantam continuidade.
Passo 2
Primeiro, para 0<= x<=tfrac12n, temos fn(x)=2n^2x. Uma antiderivada (escolhendo a constante tal que Fn(0)=0) é obtida integrando:\
Fn(x)=integral 2n^2x,dx=n^2x^2
Passo 3
Agora, para tfrac12n<= x<=tfrac1n, usamos que a primitiva deve ser contínua em x=1/(2n). Primeiro, calculamos Fn(1/(2n))=n^2(1/(2n))^2=1/4. Em seguida, integramos fn(x)=2n-2n^2x a partir de 1/(2n):\
Somando o valor inicial 1/4, obtemos para este trecho:\
Fn(x)=2nx-n^2x^2-tfrac12
Passo 4
Por fim, para tfrac1n<= x<=1, como fn(x)=0, a primitiva é constante e igual ao valor em x=1/n. Calculando em x=1/n no trecho anterior: Fn(1/n)=2ncdottfrac1n-n^2tfrac1n^2-tfrac12=2-1-tfrac12=tfrac12. Então para todo x>=1/n fica:\
Fn(x)=tfrac12
Passo 5
Juntando tudo, a antiderivada de fn com constante escolhida para Fn(0)=0 é dada por uma função por partes contínua: