Considere a sequencia de funções contínuas fn:[0,1] R definida por
fn(x)=l 2 n^2 x, 0 <= x <= 12 n 2 n-2 n^2 x, 12 n <= x <= 1n 0, 1n <= x <= 1
Calcule a primitiva de fn, i.e., calcule integral fn(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de uma função contínua por partes fn:[0,1]toR, definida em três trechos. O conteúdo aqui é integração (obtendo antiderivada) de uma função definida por partes, e vamos precisar calcular integrais em cada intervalo, tomando cuidado para que as constantes garantam continuidade.

Passo 2

Primeiro, para 0<= x<=tfrac12n, temos fn(x)=2n^2x. Uma antiderivada (escolhendo a constante tal que Fn(0)=0) é obtida integrando:\
Fn(x)=integral 2n^2x,dx=n^2x^2

Passo 3

Agora, para tfrac12n<= x<=tfrac1n, usamos que a primitiva deve ser contínua em x=1/(2n). Primeiro, calculamos Fn(1/(2n))=n^2(1/(2n))^2=1/4. Em seguida, integramos fn(x)=2n-2n^2x a partir de 1/(2n):\
integral1/(2n)^x(2n-2n^2t),dt=l[2nt-n^2t^2r]1/(2n)^x=2nx-n^2x^2-l(1-tfrac14r)=2nx-n^2x^2-tfrac34
Somando o valor inicial 1/4, obtemos para este trecho:\
Fn(x)=2nx-n^2x^2-tfrac12

Passo 4

Por fim, para tfrac1n<= x<=1, como fn(x)=0, a primitiva é constante e igual ao valor em x=1/n. Calculando em x=1/n no trecho anterior: Fn(1/n)=2ncdottfrac1n-n^2tfrac1n^2-tfrac12=2-1-tfrac12=tfrac12. Então para todo x>=1/n fica:\
Fn(x)=tfrac12

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada de fn com constante escolhida para Fn(0)=0 é dada por uma função por partes contínua:

Resposta

Fn(x)= n^2x^2, & 0<= x<=tfrac12n, 2nx-n^2x^2-tfrac12, & tfrac12n<= x<=tfrac1n, tfrac12, & tfrac1n<= x<=1

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