Considere a sequência de funções gn(x)=1n sen(n^2 x).
Mostre que fixado x=x0 in[0,1] existe o limite pontual lim n infty gn(x0) e calcule esse limite.

Passo 1

A sequência é dada por gn(x)=1nsin(n^2x). Para um x0 fixo em [0,1], queremos calcular limntoinftygn(x0). Vamos usar o fato de que a função seno é limitada.

Passo 2

Sabemos que para todo tin R vale l|sin(t)r|<=1. Logo, para nosso x0,
|gn(x0)| = |1nsin(n^2x0)| <= 1ncdot1 = 1n

Passo 3

Como dfrac1nto0 quando ntoinfty, pelo teorema do confronto temos
limntoinftygn(x0)=0

Resposta

0

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