Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Existem uma função escalar g(x, y, z) e um campo de vetores F(x, y, z) tais que
rot F(x, y, z)=nabla g(x, y, z)

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos decidir se é verdadeiro ou falso que existe uma função escalar rot F(x, y, z) = nabla g(x, y, z) e um campo vetorial tal que
Estamos lidando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e o gradiente de uma função escalar.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o rotacional de um campo vetorial, , sempre satisfaz a identidade . Isso significa que o divergente do rotacional é sempre zero.

Passo 3

Agora, considere o gradiente de uma função escalar, . Calculando o divergente dele, temos , onde é o laplaciano de .

Passo 4

Se nabla cdot (rot F) = nabla cdot (nabla g) , então:
0 = De
O que implica que:
Isso significa que deve ser uma função harmônica, ou seja, seu laplaciano deve ser zero.

Passo 5

Além disso, sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero:
rot (nabla g) = 0
Então, se rot (rot F) = rot (nabla g) = 0 , aplicando o rotacional dos dois lados, teríamos:
Isso impondo restrições adicionais sobre e .

Passo 6

Com todas essas considerações, concluímos que a única maneira de ser verdadeira é se , ou seja, se for uma constante. Portanto, exceto nesse caso trivial, não existe tal função e campo vetorial que satisfaçam a equação dada.

Resposta

Falso. Não existe uma função escalar não constante e um campo vetorial tal que .

Exercícios relacionados