Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Existem uma função escalar
e um campo de vetores
tais que
Existem uma função escalar
Passo 1
Vamos entender a questão: precisamos decidir se é verdadeiro ou falso que existe uma função escalar
e um campo vetorial
tal que
Estamos lidando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e o gradiente de uma função escalar.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o rotacional de um campo vetorial,
, sempre satisfaz a identidade
. Isso significa que o divergente do rotacional é sempre zero.
Passo 3
Agora, considere o gradiente de uma função escalar,
. Calculando o divergente dele, temos
, onde
é o laplaciano de
.
Passo 4
Se
, então:
O que implica que:
Isso significa que
deve ser uma função harmônica, ou seja, seu laplaciano deve ser zero.
Passo 5
Além disso, sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero:
Então, se
, aplicando o rotacional dos dois lados, teríamos:
Isso impondo restrições adicionais sobre
e
.
Passo 6
Com todas essas considerações, concluímos que a única maneira de
ser verdadeira é se
, ou seja, se
for uma constante. Portanto, exceto nesse caso trivial, não existe tal função
e campo vetorial
que satisfaçam a equação dada.
Resposta
Falso. Não existe uma função escalar não constante
e um campo vetorial
tal que
.