Considere a sequencia de funções contínuas definida por
Defina f(x)=lim n infty fn(x) e mostre que a sequencia (fn) não converge uniformemente para f.
Passo 1
O enunciado define uma sequência de funções contínuas fn:[0,1]toR com picos triangulares estreitos, pede para achar o limite pontual f e mostrar que não há convergência uniforme. O conteúdo aqui é convergência pontual versus uniforme, e vamos precisar usar o critério supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|.
Passo 2
Para cada x>0, se n>1/x então x>=1/n e pela definição fn(x)=0. E em x=0 temos sempre fn(0)=0. Logo, para todo xin[0,1],
f(x)=limntoinftyfn(x)=0
Passo 3
Agora calculamos o supremo da diferença entre fn e f. Como f(x)=0, temos
supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|=supxin[0,1]fn(x)
Passo 4
O máximo de fn ocorre em x=1/(2n), onde
fnl(1/(2n)r)=2n^212n=n
Passo 5
Assim,
supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|=n,
que não tende a zero quando ntoinfty. Portanto a convergência não é uniforme.
Resposta
A sequência não converge uniformemente, pois supxin[0,1]|fn(x)-f(x)|=nnotto0.