Considere a sequência de funções
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Mostre que a convergência no item ii) é uniforme.
Mostre que a convergência no item ii) é uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência de funções $ g_n(x) = \frac{1}{n} \sin(n^2 x) $. A gente precisa mostrar que essa sequência converge de forma uniforme. Primeiro, vamos entender o que é convergência uniforme e o que precisamos pra provar isso.
Passo 2
Convergência Uniforme: Dizemos que $ g_n(x) $ converge uniformemente para uma função $ g(x) $ em um intervalo se, para qualquer pequeno $ \epsilon > 0 $, existe um número $ N $ tal que para todo $ n \geq N $ e para todo $ x $ no intervalo, a diferença $ |g_n(x) - g(x)| < \epsilon $.
Aqui, parece que a função para a qual $ g_n(x) $ está convergindo é $ g(x) = 0 $, já que $ \frac{1}{n} $ tende a zero.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com $ g_n(x) $ quando $ n $ cresce:
Sabemos que o seno está sempre entre -1 e 1, então:
Passo 4
Agora, queremos que $ |g_n(x)| < \epsilon $ para todo $ x $ e $ n $ grande o suficiente. Como $ |g_n(x)| \leq \frac{1}{n} $, basta garantirmos que $ \frac{1}{n} < \epsilon $.
Isso acontece se escolhermos $ N $ tal que $ N > \frac{1}{\epsilon} $. Assim, para todo $ n \geq N $, teremos $ \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \epsilon $.
Passo 5
Portanto, para qualquer $ \epsilon > 0 $, existe um $ N $ (por exemplo, $ N > \frac{1}{\epsilon} $) tal que para todo $ n \geq N $ e para todo $ x $, a inequação $ |g_n(x)| < \epsilon $ é satisfeita.
Isso mostra que a convergência de $ g_n(x) $ para 0 é uniforme.
Resposta
Assim, concluímos que a sequência de funções $ g_n(x) = \frac{1}{n} \sin(n^2 x) $ converge uniformemente para 0.