Considere a sequência de funções fn(x)=x^n-x^2 n no intervalo [0,1].
Mostre que (fn) converge uniformemente para f no intervalo [0, a] para todo 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções fn(x)=x^n - x^2n no intervalo [0,1] e pergunta para mostrar que fn converge uniformemente para alguma função f em [0,a], com 0. O conteúdo é convergência uniforme de sequências de funções e vamos usar o critério varepsilon- N junto com um majorante que envolva a^n.

Passo 2

Em primeiro lugar identificamos o limite pontual. Para cada xin[0,1] temos x^nto0 e x^2nto0 quando ntoinfty, logo
f(x)=limntoinftyfn(x)=0

Passo 3

Para verificar a convergência uniforme em [0,a], tomamos a diferença
|fn(x)-f(x)|=|x^n - x^2n|<= x^n + x^2n

Passo 4

Como 0<= x<= a<1, segue que x^n<= a^n e x^2n<= a^2n. Portanto
|fn(x)-f(x)|<= a^n + a^2n<= a^n + a^n = 2a^n

Passo 5

Dado varepsilon>0, basta escolher N tal que
2a^N

Passo 6

Como a<1, a^Nto0 quando Ntoinfty, então tal N existe. Para qualquer n>= N e todo xin[0,a] temos
|fn(x)-f(x)|<=2a^n<=2a^N o que prova a convergência uniforme de fn para f(x)=0 em [0,a].

Resposta

A sequência fn(x)=x^n - x^2n converge uniformemente para f(x)=0 no intervalo [0,a] para todo 0.

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