Considere a sequência de funções
no intervalo
.
Mostre que
converge uniformemente para
no intervalo
para todo
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência de funções
no intervalo
e pergunta para mostrar que
converge uniformemente para alguma função
em
, com
. O conteúdo é convergência uniforme de sequências de funções e vamos usar o critério
-
junto com um majorante que envolva
.
Passo 2
Em primeiro lugar identificamos o limite pontual. Para cada
temos
e
quando
, logo
Passo 3
Para verificar a convergência uniforme em
, tomamos a diferença
Passo 4
Como
, segue que
e
. Portanto
Passo 5
Dado
, basta escolher
tal que
Passo 6
Como
,
quando
, então tal
existe. Para qualquer
e todo
temos
Resposta
A sequência
converge uniformemente para
no intervalo
para todo
.