Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
O fluxo do rotacional do campo de vetores F(x, y, z)=x i+y j+z k através da esfera de equação x^2+y^2+z^2=1, orientada para fora, é 4 pi.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “o fluxo do rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=x i + y j + z k através da esfera x²+y²+z²=1, orientada para fora, é 4π” é verdadeira ou falsa. Isso envolve cálculo vetorial (rotacional) e integral de superfície (fluxo). Vamos usar a definição de rotacional e a propriedade de que o fluxo de um campo nulo sobre qualquer superfície fechada é zero.

Passo 2

Para calcular o rotacional, usamos a fórmula
$$
abla \times F = abla times F = i & j & k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z x & y & z = l(partial zpartial y-partial ypartial zr)i + l(partial xpartial z-partial zpartial xr)j + l(partial ypartial x-partial xpartial yr)k = 0
= \bigl(\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}\bigr)\mathbf{i} + \bigl(\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}\bigr)\mathbf{j} + \bigl(\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}\bigr)\mathbf{k} = \mathbf{0}.
$$

Passo 3

Como nablatimes F = 0, o fluxo é
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS = integral duplaS0cdot n,dS = 0
Portanto, a afirmação de que esse fluxo é 4pi está incorreta.

Resposta

Falso. O fluxo do rotacional é zero, e não 4π.

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