Considere a sequencia de funções contínuas fn:[0,1] R definida por
fn(x)=l 2 n^2 x, 0 <= x <= 12 n 2 n-2 n^2 x, 12 n <= x <= 1n 0, 1n <= x <= 1
Mostre que fixado x=x0 in[0,1] existe o limite pontual lim n infty fn(x0) e calcule esse limite.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência de funções contínuas fn:[0,1]to R definida em três pedaços que se anula fora de [0,1/n]. A tarefa é, para cada ponto fixo x0in[0,1], mostrar que limntoinftyfn(x0) existe e calculá-lo.

Passo 2

Começando pelo ponto x0=0: substituindo em fn na primeira parte do pedaço, temos fn(0)=2n^2cdot0=0 para todo n. Logo, limntoinftyfn(0)=0.

Passo 3

Agora tomemos um ponto fixo x0>0. Como 1/nto0, existe N tal que para todo n>= N vale 1/n. Para esses n, estamos na terceira parte da definição e, portanto, fn(x0)=0. Isso mostra que a partir de certo índice a sequência é constantemente zero em x0, e assim limntoinftyfn(x0)=0.

Passo 4

Concluímos que, para qualquer x0in[0,1], a sequência fn(x0) converge pontualmente para zero.

Resposta

Para todo x0in[0,1], limntoinftyfn(x0)=0.

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