Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício P2.
© f(x, y)=e^x sen y, P=(0, pi / 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar qual é o crescimento máximo da função no ponto . Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre gradientes e direções de crescimento em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o crescimento máximo de uma função em um ponto ocorre na direção do seu gradiente nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x sin y ) = e^x sin y em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( e^x sin y ) = e^x cos y :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais, o gradiente de nabla f(P) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) g|P = ( e^0 sin pi3, e^0 cos pi3 ) = ( sin pi3, cos pi3 ) no ponto justify nabla f(P) = ( raiz32, 12 ) é:
Sabendo que e , temos:

Passo 5

Para encontrar o crescimento máximo, calculamos a norma do gradiente:
| nabla f(P) | = raiz ( raiz32 )^2 + ( 12 )^2 = raiz 34 + 14 = raiz1 = 1
A direção do crescimento máximo é a direção do próprio gradiente, ou seja, o vetor .

Resposta

O crescimento máximo de no ponto é igual a 1 e ocorre na direção do vetor .

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