Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
A parametrização r(u, v)=u^3 i+(u^6-v^6) j+v^3 k,(u, v) in R^2, descreve um parabolóide hiperbólico.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a parametrização
r(u,v)=u^3,i + (u^6 - v^6),j + v^3,k,(u,v)inR^2
descreve um paraboloide hiperbólico. O conteúdo envolvido é reconhecimento de superfícies quádricas e uso de parametrizações para obter a equação implícita.

Passo 2

Da parametrização, definimos as coordenadas
x=u^3, y=u^6 - v^6, z=v^3
Note que
u^6=(u^3)^2=x^2e v^6=(v^3)^2=z^2
Substituindo na expressão de y, obtemos
y = x^2 - z^2

Passo 3

A equação implícita y = x^2 - z^2 é justamente a forma canônica de um paraboloide hiperbólico (normalmente escrito z= x^2 - y^2, mas é apenas uma escolha de qual eixo está em função dos outros). Logo, conclui-se que a superfície é um paraboloide hiperbólico.

Resposta

Verdadeiro.

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