Questão 3. Determine a velocidade V com a qual o hélio contido em um recipiente isolado termicamente sai através de um pequeno orifício na parede do recipiente. A temperatura do He no recipiente é T (em Kelvin).
A. ( ) \mathrm{V}=\sqrt{(2 \gamma \mathrm{RT}) /(\gamma-1) \mathrm{M}}
B. ( ) \mathrm{V}=\sqrt{(\mathrm{RT}) /(\gamma-1) \mathrm{M}}
C. ( ) \mathrm{V}=\sqrt{(\gamma \mathrm{RT}) /(\gamma+1) \mathrm{M}}
D. ( ) \mathrm{V}=\sqrt{\left(\gamma^{2} \mathrm{RT}\right) /\left(\gamma^{2}-1\right) \mathrm{M}}
E. ( ) N.R.A.
Observação: \left\{\begin{array}{l}\text { - Coeficiente de Poisson do He }=\gamma \\\ \text { - Constante universal dos gases }=\mathrm{R} \\\ \text { - Massa molar do He }=\mathrm{M} \\\ \text { - O Hélio sai em uma região vazia (vácuo). }\end{array}\right.éãá

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede: determinar a velocidade V com que o hélio sai por um pequeno orifício para uma região em vácuo, sabendo que a temperatura do He dentro do recipiente é T.
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de Poisson do He: \gamma.
    • Constante universal dos gases: R.
    • Massa molar do He: M.
    • O hélio sai para uma região vazia (vácuo).
    • O recipiente é isolado termicamente (adiabático).
  • O objetivo final é escolher a expressão correta entre as alternativas A–E.

Passo 2

Escolha do método físico e modelo idealizado (explicação didática e intuitiva).
  • Vamos trabalhar por mole de gás (isso simplifica as contas). Para um problema de velocidade de jato em que o gás expande de um reservatório para um ambiente muito rarificado (vácuo), a forma mais direta é usar conservação de energia para escoamento compressível (versão do “Bernoulli” para gás ideal): a entalpia total (entalpia estática + energia cinética) é conservada se não há troca de calor nem trabalho de atrito significativo.
  • Intuição física simples: o gás no interior tem energia térmica (entalpia). Ao sair para o vácuo e expandir até pressão praticamente nula, essa energia térmica pode ser convertida em energia cinética do jato. No limite ideal (sem perdas), toda a entalpia inicial pode virar energia cinética máxima. Vamos quantificar isso.

Passo 3

Conservação de energia por mole: relacionando entalpia e velocidade.
  • Tome 1 mol de gás inicialmente em repouso dentro do recipiente, temperatura T. A entalpia molar inicial do gás é
h_1 = C_P\,T,
onde C_P é a capacidade calorífica molar a pressão constante.
  • Depois da saída e expansão até pressão praticamente nula, a entalpia molar final é h_2 = C_P\,T_2. A energia cinética por mole no escoamento é \dfrac{1}{2}M V^2, onde M é a massa molar (em kg/mol) e V é a velocidade buscada.
  • Pela conservação de energia (entalpia inicial = entalpia final + energia cinética ganha), temos
h_1 = h_2 + \frac{1}{2}M V^2.

Passo 4

Usar que a saída é para vácuo: conclusão sobre h_2 (e T_2).
  • Para um processo adiabático e sem trocas de calor, se a expansão até a pressão externa é isentrópica (ou, ao menos, se desprezarmos perdas e considerarmos o limite ideal), a relação entre temperaturas e pressões é
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Como o gás sai para vácuo, p_2\to 0. Então \dfrac{T_2}{T_1}\to 0, ou seja T_2\to 0. Logo a entalpia final por mole tende a zero: h_2\approx 0.
  • Substituindo h_2\approx 0 na equação de energia do passo anterior,
h_1 = \frac{1}{2}M V^2.
  • Como h_1 = C_P T, obtém-se
\frac{1}{2}M V^2 = C_P T \quad\Rightarrow\quad V^2 = \frac{2 C_P T}{M}.

Passo 5

Expressar C_P em termos de \gamma e R e obter a fórmula final.
  • Para um gás ideal vale C_P - C_V = R e \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}. Resolvendo para C_P:
C_P = \frac{\gamma}{\gamma-1}\,R.
  • Substituindo em V^2 = \dfrac{2 C_P T}{M} temos
V^2 = \frac{2}{M}\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}R\right)T \quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{\frac{2\gamma R T}{(\gamma-1)M}}.
  • Aqui foi usado que R é a constante dos gases em unidades \mathrm{J/(mol\cdot K)}, M tem unidades \mathrm{kg/mol}, o que deixa V em \mathrm{m/s}. Cada símbolo significa: \gamma razão de capacidades, R constante universal, T temperatura absoluta em Kelvin, M massa molar em kg/mol, V velocidade.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa.
  • A expressão obtida
V=\sqrt{\frac{2\gamma R T}{(\gamma-1)M}}
coincide exatamente com a alternativa A.

Resposta

A

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