Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} onde a_{1}=\sqrt{k} e a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}} com k>0 constante.
a) Mostre que \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} é crescente e limitada.
b) Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(a_n\bigr) por
a_{1}=\sqrt{k}, \qquad a_{n+1}=\sqrt{k + a_{n}},
com k>0. O conteúdo é estudo de sequências recursivas: vamos mostrar que \bigl(a_n\bigr) é crescente e limitada, e em seguida usar o Teorema da Convergência Monótona para achar seu limite.

Passo 2

Definimos a função quadrática
f(x)=x^{2}-x-k.
Sejam as raízes de f(x)=0:
r_{1}=\frac{1-\sqrt{1+4k}}{2}, \quad r_{2}=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
Note que r_{1}<0<\sqrt{k}<r_{2}. Vamos mostrar por indução que
a_{n}\le r_{2} \quad\forall n.
Base n=1: como
\sqrt{k}\le\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}
é equivalente a
2\sqrt{k}\le1+\sqrt{1+4k},
que ao quadrar dá 4k-4\sqrt{k}+1\le1+4k, isto é -4\sqrt{k}\le0, a desigualdade é verdadeira.
Passo indutivo: supondo a_{n}\le r_{2}, então
a_{n+1} =\sqrt{k+a_{n}} \le\sqrt{k+r_{2}} =r_{2},
pois r_{2}^{2}=k+r_{2}.

Passo 3

Para crescer, precisamos a_{n+1}\ge a_{n}. Observe
a_{n+1}\ge a_{n} \iff \sqrt{k+a_{n}}\ge a_{n} \iff k+a_{n}\ge a_{n}^{2} \iff a_{n}^{2}-a_{n}-k\le0 \iff f(a_{n})\le0.
Mas como r_{1}<a_{n}\le r_{2} e f(x)\le0 exatamente para x\in[r_{1},r_{2}], segue f(a_{n})\le0. Logo a_{n+1}\ge a_{n} e a sequência é crescente.

Passo 4

Como \bigl(a_n\bigr) é crescente e limitada superiormente por r_{2}, pelo Teorema da Convergência Monótona existe
L=\lim_{n\to\infty}a_{n}.
Fazendo n\to\infty em a_{n+1}=\sqrt{k+a_{n}}
L=\sqrt{k+L} \qquad\Longrightarrow\qquad L^{2}-L-k=0.
As soluções são r_{1} e r_{2}, mas como L\ge a_{1}=\sqrt{k}>0, fica
L=r_{2}=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
A sequência é crescente e limitada superiormente por esse valor.

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