Considere a sequência
onde
e
com
constante.
a) Mostre que
é crescente e limitada.
b) Calcule
.
a) Mostre que
b) Calcule
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
com
. O conteúdo é estudo de sequências recursivas: vamos mostrar que
é crescente e limitada, e em seguida usar o Teorema da Convergência Monótona para achar seu limite.
Passo 2
Definimos a função quadrática
Sejam as raízes de
:
Note que
. Vamos mostrar por indução que
Base
: como
é equivalente a
que ao quadrar dá
, isto é
, a desigualdade é verdadeira.
Passo indutivo: supondo , então
Passo indutivo: supondo
pois
.
Passo 3
Para crescer, precisamos
. Observe
Mas como
e
exatamente para
, segue
. Logo
e a sequência é crescente.
Passo 4
Como
é crescente e limitada superiormente por
, pelo Teorema da Convergência Monótona existe
Fazendo
em
dá
As soluções são
e
, mas como
, fica
Resposta
A sequência é crescente e limitada superiormente por esse valor.