Seja \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} uma sequência não limitada. Mostre que existe uma subsequência \left\{a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb{N}} tal que a_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \infty ou -\infty.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} que não é limitada, isto é, não existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n. Queremos mostrar que a partir dessa sequência podemos extrair uma subsequência \{a_{n_k}\} que diverge para +\infty ou para -\infty. Vamos usar a definição de sequência não limitada e um argumento de extração de subsequência por indução.

Passo 2

Como \{a_n\} não é limitada, para cada inteiro k\ge1 existe algum índice m\in\mathbb{N} tal que
\lvert a_m\rvert > k.
Escolhemos então por indução os índices n_k satisfazendo
  1. n_1 é qualquer índice com \lvert a_{n_1}\rvert>1.
  2. Tendo definido n_{k-1}, escolhemos
n_k > n_{k-1} \quad\text{tal que}\quad \lvert a_{n_k}\rvert > k.
Isso é possível pois há sempre algum m (e de fato infinitos) com \lvert a_m\rvert>k, e podemos tomar o primeiro índice após n_{k-1}.

Passo 3

Agora a subsequência \{a_{n_k}\} satisfaz \lvert a_{n_k}\rvert>k para todo k. Em cada termo, ou a_{n_k}>k ou a_{n_k}<-k. Definimos dois conjuntos de índices:
I^+ = \{\,k\in\mathbb{N} : a_{n_k}>k\}, \quad I^- = \{\,k\in\mathbb{N} : a_{n_k}<-k\}.
Como todo k cai em uma das duas categorias, temos I^+\cup I^- = \mathbb{N}. Logo pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos um desses conjuntos é infinito.

Passo 4

Se I^+ for infinito, ordenamos seus elementos crescentemente como k_1<k_2<\cdots e consideramos a subsequência \bigl(a_{n_{k_j}}\bigr)_{j\in\mathbb{N}}. Para cada j,
a_{n_{k_j}}>k_j\quad\Longrightarrow\quad a_{n_{k_j}}\xrightarrow[j\to\infty]{}+\infty.
Analogamente, se I^- for infinito, extraímos \bigl(a_{n_{\ell_j}}\bigr) com \ell_1<\ell_2<\cdots de I^- e obtém-se
a_{n_{\ell_j}}<-\ell_j\quad\Longrightarrow\quad a_{n_{\ell_j}}\xrightarrow[j\to\infty]{}-\infty.

Resposta

Mostramos que existe sempre uma subsequência que diverge para +\infty ou para -\infty, conforme desejado.

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