Seja \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} uma sequência não limitada. Mostre que existe uma subsequência \left\{a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb{N}} tal que a_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \infty ou -\infty.
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} que não é limitada, isto é, não existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n. Queremos mostrar que a partir dessa sequência podemos extrair uma subsequência \{a_{n_k}\} que diverge para +\infty ou para -\infty. Vamos usar a definição de sequência não limitada e um argumento de extração de subsequência por indução.
Passo 2
Como \{a_n\} não é limitada, para cada inteiro k\ge1 existe algum índice m\in\mathbb{N} tal que
\lvert a_m\rvert > k.
Escolhemos então por indução os índices n_k satisfazendo
n_1 é qualquer índice com \lvert a_{n_1}\rvert>1.
Tendo definido n_{k-1}, escolhemos
n_k > n_{k-1} \quad\text{tal que}\quad \lvert a_{n_k}\rvert > k.
Isso é possível pois há sempre algum m (e de fato infinitos) com \lvert a_m\rvert>k, e podemos tomar o primeiro índice após n_{k-1}.
Passo 3
Agora a subsequência \{a_{n_k}\} satisfaz \lvert a_{n_k}\rvert>k para todo k. Em cada termo, ou a_{n_k}>k ou a_{n_k}<-k. Definimos dois conjuntos de índices:
Como todo k cai em uma das duas categorias, temos I^+\cup I^- = \mathbb{N}. Logo pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos um desses conjuntos é infinito.
Passo 4
Se I^+ for infinito, ordenamos seus elementos crescentemente como k_1<k_2<\cdots e consideramos a subsequência \bigl(a_{n_{k_j}}\bigr)_{j\in\mathbb{N}}. Para cada j,