Seja \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} uma sequência não limitada. Mostre que existe uma subsequência \left\{a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb{N}} tal que a_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \infty ou -\infty.

Passo 1

O enunciado diz que \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} não é limitada, ou seja, não existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Queremos mostrar que então ou existe uma subsequência \{a_{n_k}\} com
a_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}+\infty
ou existe uma subsequência \{a_{m_k}\} com
a_{m_k}\xrightarrow{k\to\infty}-\infty.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de “não limitada”: \{a_n\} não é limitada \Longleftrightarrow
para todo M>0 existe n\in\mathbb{N} tal que \lvert a_n\rvert > M.
Isto significa que para cada k\in\mathbb{N} há índice(s) n com \lvert a_n\rvert>k. Em particular há dois casos a considerar:
  1. Há infinitos n tais que a_n>k para cada k.
  2. Há apenas finitios n tais que a_n>k para algum k.

Passo 3

Caso 1: suponha que para cada k\in\mathbb{N} existam infinitos índices n com
a_n>k.
Então podemos construir por indução uma subsequência \{a_{n_k}\} assim:
  • Escolha n_1 com a_{n_1}>1.
  • Tendo escolhido n_k, escolha n_{k+1}>n_k com a_{n_{k+1}}>k+1.
    Isso é possível porque existem infinitos n com a_n>k+1.
    Logo para todo k vale a_{n_k}>k, e portanto
\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=+\infty.

Passo 4

Caso 2: existe algum K\in\mathbb{N} tal que apenas finitios n satisfazem a_n>K.
Isto diz que a sequência é limitada acima (por K) a partir de certo ponto. Como \{a_n\} não é limitada, ela não pode ser limitada também abaixo; logo para cada k\in\mathbb{N} existe m com
a_m<-k.
De novo por indução construímos uma subsequência \{a_{m_k}\}:
  • Escolha m_1 tal que a_{m_1}<-1.
  • Tendo escolhido m_k, escolha m_{k+1}>m_k com a_{m_{k+1}}<-(k+1).
    Assim a_{m_k}< -k para todo k, e segue
\lim_{k\to\infty}a_{m_k}=-\infty.

Resposta

Mostramos que ou existe subsequência divergindo para +\infty (caso 1) ou existe subsequência divergindo para -\infty (caso 2), como desejado.

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