Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{e^{n}}. É verdadeiro dizer sobre a sequência:
(a) converge para 0 pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1
(b) \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0
(c) converge para \frac{1}{e} pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}
(d) é convergente pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e \neq 0
(e) oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}
(f) \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e>0
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{e^{n}} e pede que identifiquemos quais das alternativas (a)–(f) são verdadeiras. Informações relevantes fornecidas:
A definição do termo geral: a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{e^{n}}.
As alternativas afirmam coisas sobre convergência de a_{n}, comportamento de |a_{n}| e sobre o valor do limite \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
Não faço cálculos neste passo — apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Vamos primeiro escrever o valor absoluto dos termos, porque muitas das afirmações falam de |a_{n}|. Temos
|a_{n}|=\frac{n!}{e^{n}}.
Isto é só tirar o sinal (-1)^{n}, que só altera a indicação de positivo/negativo, não a magnitude.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos em módulo:
Ou seja, a razão \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| não tende a um número finito; ela cresce sem limite.
Passo 5
A partir da expressão do módulo dos termos e da razão, escrevemos |a_{n}| como produto:
|a_{n}|=|a_{1}|\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{e}.
Como \frac{k+1}{e}\to\infty quando k\to\infty, os fatores do produto crescem sem limite. Para um argumento mais elementar e rigoroso: note que e<3, então para k\ge 2 temos \frac{k+1}{e}\ge\frac{k+1}{3}. Assim, para n\ge 3,
O termo à direita cresce para +\infty porque n! cresce mais rápido que 3^{n}. Portanto |a_{n}|\to+\infty.
Passo 6
Conclusão sobre a_{n}: como |a_{n}|\to+\infty, os módulos dos termos divergem. Além disso a_{n}=(-1)^{n}|a_{n}| alterna o sinal, logo os termos não se aproximam de nenhum número finito. Portanto a sequência (a_{n}) diverge (é não convergente) e é não limitada em módulo.
Passo 7
Agora verifico cada alternativa:
(a) Afirma que a sequência converge para 0 porque \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1. Isto é falso: o limite da razão é +\infty, não 1/e; e a sequência não converge para 0.
(b) Afirma que |a_{n}|\to+\infty pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0. A conclusão |a_{n}|\to+\infty está correta, mas a justificativa dada está errada (o limite da razão não é 1/e). Como a alternativa inclui uma justificativa falsa, consideramos a alternativa como falsa.
(c) Afirma que converge para \tfrac{1}{e} pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}. Falso: não converge para \tfrac{1}{e} e o limite da razão não é 1/e.
(d) Afirma que é convergente pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e\neq 0. Falso: o limite da razão não é e e a sequência não é convergente.
(e) Afirma que oscila entre -\tfrac{1}{e} e \tfrac{1}{e}. Falso: os valores não ficam limitados em \pm\tfrac{1}{e}; o módulo tende ao infinito.
(f) Afirma que |a_{n}|\to+\infty pois \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e>0. Novamente a conclusão é correta, mas a justificativa está errada (o limite da razão é +\infty, não e); por isso a alternativa é falsa.