Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln n)^{4}}{n^{2 n}}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}.
(c) \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{4 n}}{n}.
(e) \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}.
(f) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado dá seis séries e pede: para quais delas o teste da raiz nos permite concluir a convergência? Vou listar cada série exatamente como foi dada:
(a) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln n)^{4}}{n^{2 n}}.
(b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}.
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
(d) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{4 n}}{n}.
(e) \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}.
(f) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.
O que preciso responder: para quais destas séries o teste da raiz (ou teste de Cauchy) permite concluir convergência (absoluta). Não vou perguntar nada — vou aplicar o teste a cada item.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o teste da raiz (raiz-n): seja uma série \sum a_n com a_n\in\mathbb{C}. Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1 (inclusive L=+\infty), a série diverge (os termos não tendem a zero).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Como calcular \sqrt[n]{|a_n|} na prática: para séries da forma (b_n)^n a raiz reduz muito: \sqrt[n]{(b_n)^n}=|b_n|. Para potências e produtos, usa-se propriedades de limite; por exemplo \sqrt[n]{c^{n}}=|c|, \sqrt[n]{\frac{1}{n}}=n^{-1/n}\to1, e \sqrt[n]{(\ln n)^{k}}=(\ln n)^{k/n}\to1. Vou usar essas regras várias vezes — explico cada limite quando aparecer.

Passo 3

Temos a_n=\dfrac{(\ln n)^{4}}{n^{2 n}}. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{(\ln n)^{4}}{n^{2 n}}} =\frac{(\ln n)^{4/n}}{n^{2}}.
Justificativa do limite de (\ln n)^{4/n}: escrevo (\ln n)^{4/n}=\exp\!\big(\tfrac{4}{n}\ln(\ln n)\big). Como \ln(\ln n) cresce lentamente, \tfrac{4}{n}\ln(\ln n)\to0 quando n\to\infty, logo (\ln n)^{4/n}\to e^{0}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{4/n}}{n^{2}}=\frac{1}{\infty}=0.
Assim L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Passo 4

Temos a_n=\left(\dfrac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}. Como a expressão já está elevada a n, a raiz simplifica:
\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}.
Para racionais em n com mesmo grau no numerador e denominador, o limite é a razão dos coeficientes principais. Aqui os coeficientes dos termos n^{3} são 2 no numerador e 1 no denominador. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=2.
Como 2>1, pelo teste da raiz a série diverge (e portanto o teste nos permite concluir divergência, não convergência). Para a pergunta original (concluir convergência), este item não é aceito.

Passo 5

Temos a_n=\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}. Primeiro reconheço a soma geométrica (usei que os termos vêm da soma na própria expressão):
S_n=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}=\frac{1-(1/3)^{\,n+1}}{1-1/3}=\frac{3}{2}\left(1-3^{-(n+1)}\right).
Assim a_n=(S_n)^n e
\sqrt[n]{|a_n|}=S_n=\frac{3}{2}\left(1-3^{-(n+1)}\right).
Tomando limite,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{3}{2}>1.
Portanto L=\tfrac{3}{2}>1 e o teste da raiz conclui que a série diverge. Não é convergente pelo teste da raiz.

Passo 6

Temos a_n=\dfrac{\pi^{4 n}}{n}. Calculo a raiz:
\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{\pi^{4}}{n^{1/n}}.
Conhecimento útil: \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1 (pois \ln(n^{1/n})=\tfrac{\ln n}{n}\to0). Assim
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\pi^{4}.
Como \pi^{4}>1 (de fato é grande), o teste da raiz dá L>1 e a série diverge. Novamente não conclui convergência.

Passo 7

Temos a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}. A raiz n-ésima é
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2}.
Agora, \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2}=1^{-2}=1. Ou seja L=1, e o teste da raiz é inconclusivo. (Observação extra, só para intuição: a sequência dos termos converge para e^{2}, então os termos não vão a zero e a série diverge — mas isso não vem do teste da raiz, que aqui falha.)

Passo 8

Temos
a_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.
Simplifico a parte dentro dos parênteses: \dfrac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4 n^{2}}=\tfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4 n^{2}}. Então a base fica
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4 n^{2}}=1+\frac{3}{4 n^{2}}.
Logo a_n=\left(1+\dfrac{3}{4 n^{2}}\right)^{n} e
\sqrt[n]{|a_n|}=1+\frac{3}{4 n^{2}}.
Tomando limite,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.
Portanto L=1 e o teste da raiz é inconclusivo para este item também. (Novamente, fora do teste: a_n\to1 e a série diverge, mas isso não é entregue pelo teste da raiz.)

Resposta

(a)

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