Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado dá seis séries e pede: para quais delas o teste da raiz nos permite concluir a convergência? Vou listar cada série exatamente como foi dada:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
O que preciso responder: para quais destas séries o teste da raiz (ou teste de Cauchy) permite concluir convergência (absoluta). Não vou perguntar nada — vou aplicar o teste a cada item.
Passo 2
Vou lembrar e explicar o teste da raiz (raiz-n): seja uma série
com
. Definimos
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(inclusive ), a série diverge (os termos não tendem a zero). - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Como calcular
na prática: para séries da forma
a raiz reduz muito:
. Para potências e produtos, usa-se propriedades de limite; por exemplo
,
, e
. Vou usar essas regras várias vezes — explico cada limite quando aparecer.
Passo 3
Temos
. Calculo a raiz
-ésima:
Justificativa do limite de
: escrevo
. Como
cresce lentamente,
quando
, logo
. Portanto
Assim
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.
Passo 4
Temos
. Como a expressão já está elevada a
, a raiz simplifica:
Para racionais em
com mesmo grau no numerador e denominador, o limite é a razão dos coeficientes principais. Aqui os coeficientes dos termos
são
no numerador e
no denominador. Logo
Como
, pelo teste da raiz a série diverge (e portanto o teste nos permite concluir divergência, não convergência). Para a pergunta original (concluir convergência), este item não é aceito.
Passo 5
Temos
. Primeiro reconheço a soma geométrica (usei que os termos vêm da soma na própria expressão):
Assim
e
Tomando limite,
Portanto
e o teste da raiz conclui que a série diverge. Não é convergente pelo teste da raiz.
Passo 6
Temos
. Calculo a raiz:
Conhecimento útil:
(pois
). Assim
Como
(de fato é grande), o teste da raiz dá
e a série diverge. Novamente não conclui convergência.
Passo 7
Temos
. A raiz n-ésima é
Agora,
. Ou seja
, e o teste da raiz é inconclusivo. (Observação extra, só para intuição: a sequência dos termos converge para
, então os termos não vão a zero e a série diverge — mas isso não vem do teste da raiz, que aqui falha.)
Passo 8
Temos
Simplifico a parte dentro dos parênteses:
. Então a base fica
Logo
e
Tomando limite,
Portanto
e o teste da raiz é inconclusivo para este item também. (Novamente, fora do teste:
e a série diverge, mas isso não é entregue pelo teste da raiz.)
Resposta
(a)