Considere a série
, onde
. Quanto à sua convergência, é possível afirmar que:
(a) A série diverge para todo
.
(b) A série diverge se, e somente se,
.
(c) A série converge para todo
.
(d) A série converge se, e somente se,
.
(e) A série converge se, e somente se,
.
(f) A série converge se, e somente se,
.
(a) A série diverge para todo
(b) A série diverge se, e somente se,
(c) A série converge para todo
(d) A série converge se, e somente se,
(e) A série converge se, e somente se,
(f) A série converge se, e somente se,
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a convergência da série
onde
. São dadas as alternativas (a)–(f) e devemos escolher qual é verdadeira. Informações relevantes extraídas do enunciado:
; A série é somatório de termos indexados por
.\n
; O parâmetro
é um real arbitrário.\n
; Cada termo geral é
. Note que esses termos são positivos para todo
(porque
e
).\n
A resolução começa no próximo passo.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos escolher um critério apropriado. Para séries de termos positivos, o Teste da Razão (ou critério de d’Alembert) costuma ser muito eficaz quando a expressão do
contém fatores com
e potências como
. Vou aplicar o Teste da Razão porque:
; Os termos
são positivos (condição necessária para aplicar diretamente a versão usual do teste).\n
; O quociente
tende a simplificar bem com fatoriais e potências, levando a um limite que podemos avaliar.
Passo 3
Definição do Teste da Razão (explicação didática): seja uma série de termos positivos
. Se
existe, então
; se
a série converge absolutamente;\n
; se
a série diverge;\n
; se
o teste é inconclusivo.\n
Portanto, nosso objetivo é calcular para
.
Portanto, nosso objetivo é calcular
Passo 4
Calculemos explicitamente o quociente
. Escrevendo
e
:
Agora o quociente:
Passo 5
Simplificamos fatoriais e potências no quociente:
e
Substituindo na expressão do quociente e incluindo o fator
, obtemos:
Os fatores
e
se cancelam, ficando
Passo 6
Agora precisamos do limite
Separemos a potência:
Conhecemos um limite clássico e fundamental:
onde
é a base dos logaritmos naturais (aprox.
). Além disso,
porque
e elevar isso a potência fixa
tende a
. Portanto, multiplicando os limites:
Passo 7
Aplicando o Teste da Razão: encontramos
. Como
, a conclusão do teste é que a série diverge. Observe que esse resultado não depende de
: o cálculo do quociente e do limite mostrou que
não altera o limite final, que é
para qualquer
.
Passo 8
Comentários finais e intuição rápida: a razão entre termos consecutivos cresce como algo próximo de
, o que significa que os termos não estão decrescendo suficientemente rápido para somarem a um valor finito — na verdade, crescem muito rápido em termos do que uma série convergente precisaria. Por isso a divergência vale para todo
.
Resposta
(a)