Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{p} \frac{n^{n}}{n!}, onde p \in \mathbb{R}. Quanto à sua convergência, é possível afirmar que:
(a) A série diverge para todo p \in \mathbb{R}.
(b) A série diverge se, e somente se, p \geq 1.
(c) A série converge para todo p \in \mathbb{R}.
(d) A série converge se, e somente se, p<0.
(e) A série converge se, e somente se, p>0.
(f) A série converge se, e somente se, p \leq 1.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{p}\,\frac{n^{n}}{n!},
onde p\in\mathbb{R}. São dadas as alternativas (a)–(f) e devemos escolher qual é verdadeira. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;1.; A série é somatório de termos indexados por n=1,2,\dots.\n
\;2.; O parâmetro p é um real arbitrário.\n
\;3.; Cada termo geral é a_n = n^{p}\dfrac{n^{n}}{n!}. Note que esses termos são positivos para todo n\ge1 (porque n^{p}>0 e n^{n}/n!>0).\n
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos escolher um critério apropriado. Para séries de termos positivos, o Teste da Razão (ou critério de d’Alembert) costuma ser muito eficaz quando a expressão do a_n contém fatores com n! e potências como n^{n}. Vou aplicar o Teste da Razão porque:
\;1.; Os termos a_n são positivos (condição necessária para aplicar diretamente a versão usual do teste).\n
\;2.; O quociente a_{n+1}/a_n tende a simplificar bem com fatoriais e potências, levando a um limite que podemos avaliar.

Passo 3

Definição do Teste da Razão (explicação didática): seja uma série de termos positivos \sum a_n. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe, então
\;i.; se L<1 a série converge absolutamente;\n
\;ii.; se L>1 a série diverge;\n
\;iii.; se L=1 o teste é inconclusivo.\n
Portanto, nosso objetivo é calcular L para a_n=n^{p}\dfrac{n^{n}}{n!}.

Passo 4

Calculemos explicitamente o quociente a_{n+1}/a_n. Escrevendo a_n e a_{n+1}:
a_n = n^{p}\frac{n^{n}}{n!},\qquad a_{n+1}=(n+1)^{p}\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Agora o quociente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{p}\,(n+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{p}\,n^{n}/n!} = \frac{(n+1)^{p}}{n^{p}}\cdot\frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.

Passo 5

Simplificamos fatoriais e potências no quociente:
\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1},
e
\frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}=\frac{(n+1)\,(n+1)^{n}}{n^{n}}=(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}.
Substituindo na expressão do quociente e incluindo o fator \dfrac{(n+1)^{p}}{n^{p}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}, obtemos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}\cdot (n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}.
Os fatores (n+1) e \dfrac{1}{n+1} se cancelam, ficando
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p}.

Passo 6

Agora precisamos do limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p}.
Separemos a potência:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p} =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}.
Conhecemos um limite clássico e fundamental:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828). Além disso,
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}=1,
porque \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\to1 e elevar isso a potência fixa p tende a 1^{p}=1. Portanto, multiplicando os limites:
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+p}=e\cdot 1 = e.

Passo 7

Aplicando o Teste da Razão: encontramos L=e. Como e>1, a conclusão do teste é que a série diverge. Observe que esse resultado não depende de p: o cálculo do quociente e do limite mostrou que p não altera o limite final, que é e para qualquer p\in\mathbb{R}.

Passo 8

Comentários finais e intuição rápida: a razão entre termos consecutivos cresce como algo próximo de e>1, o que significa que os termos não estão decrescendo suficientemente rápido para somarem a um valor finito — na verdade, crescem muito rápido em termos do que uma série convergente precisaria. Por isso a divergência vale para todo p.

Resposta

(a)

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