Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{e^{n}}. É verdadeiro dizer sobre a sequência:
(a) é decrescente pois \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=-\infty.
(b) a_{n} \rightarrow 0 pois \lim _{n \rightarrow \infty} e^{n}=\infty.
(c) converge para 0 pois \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=0.
(d) oscila entre -\frac{1}{e} \mathrm{e} \frac{2}{e^{2}} pois \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=0.
(e) \left|a_{n}\right| \rightarrow 0 pois \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1.
(f) \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=+\infty.
Explicação didática dessa conta: ao dividir a_{n+1} por a_n muitos fatores se cancelam. O fator alternante dá (-1)^{n+1}/(-1)^n=-1. Do fator n! vem (n+1)!/n! = n+1. Dos exponenciais vem e^{n}/e^{n+1}=1/e. Juntando dá -\frac{n+1}{e}. Para o módulo tiramos o sinal menos.
Interpretação didática: como \frac{n+1}{e}\to+\infty, os módulos |a_n| não estão ficando pequenos; ao contrário, a razão entre módulos cresce sem limite, o que sugere crescimento muito rápido do módulo.
Passo 4
Mostremos rigorosamente que |a_n|\to+\infty.
A partir de \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{e}, existe N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{n+1}{e}\ge 2. Por exemplo, N=5 funciona porque \dfrac{6}{e}>2. Então, para todo n\ge N,
|a_{n+1}|\ge 2|a_n|.
Aplicando isso repetidamente (indução) obtemos, para m\ge 0,
|a_{N+m}|\ge 2^m|a_N|.
Como 2^m\to\infty quando m\to\infty, segue que |a_n|\to+\infty.
Explicação didática: a ideia é simples — a partir de um certo índice, cada termo em módulo pelo menos dobra em relação ao anterior; uma sequência que dobra repetidamente tende a infinito. Essa é uma forma elementar (e efetiva) de transformar a informação sobre a razão em uma conclusão sobre o limite do módulo.
Passo 5
Consequências para a_n (com sinal):
Como |a_n|\to+\infty e a_n tem fator (-1)^n, os termos alternam sinal e seus módulos crescem sem limite. Logo a_n não converge (o limite não existe finito) — na verdade diverge em módulo e alterna sinal.
A sequência não é monotônica nem crescente nem decrescente: alternância de sinal já impede monotonicidade global.
Explicação didática: uma sequência que alterna sinal e tem módulo que cresce não pode ser decrescente nem ter limite zero; é divergente para infinito em módulo.
Passo 6
Agora avaliamos cada alternativa com base nas observações anteriores.
(a) Afirma: "é decrescente pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\infty".
Comentário: o cálculo \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\dfrac{n+1}{e} e seu limite -\infty estão corretos, mas a conclusão está errada: o fato de a razão tender a -\infty não implica que a sequência seja decrescente. Além disso, por alternância de sinal a sequência não é monotônica. Portanto (a) é falsa.
(b) Afirma: "a_n\to 0 pois \lim_{n\to\infty} e^n=\infty".
Comentário: a observação de que e^n\to\infty é verdadeira, mas o numerador n! cresce mais rápido que e^n, de modo que \dfrac{n!}{e^n}\to\infty. Logo a_n não tende a 0. Portanto (b) é falsa.
(c) Afirma: "converge para 0 pois \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=0".
Comentário: calculemos \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\dfrac{e}{n+1}\to 0; esse limite é correto. Entretanto, o fato de a razão entre termos tender a 0 NÃO implica que os termos (a_n) tendam a 0. De fato, já vimos que |a_n|\to+\infty. Portanto (c) é falsa.
(d) Afirma: "oscila entre -\dfrac{1}{e} e \dfrac{2}{e^{2}} pois \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=0".
Comentário: isso não faz sentido: a sequência não oscila entre dois valores fixos; seus termos alternam sinal e crescem em módulo sem limite. A conclusão é falsa e a justificativa (razão tender a 0) não implica tal oscilação. Portanto (d) é falsa.
(e) Afirma: "|a_n|\to 0 pois \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1".
Comentário: na realidade \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=+\infty, não é menor que 1. E como já mostramos |a_n|\to+\infty. Portanto (e) é falsa.
(f) Afirma: "|a_n|\to+\infty pois \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=+\infty".
Comentário: isto é verdadeiro. Calculámos a razão dos módulos \dfrac{n+1}{e} que tende a +\infty, e a partir disso mostramos que a partir de algum N os módulos pelo menos dobram a cada passo, implicando |a_n|\to+\infty. Portanto (f) é verdadeira.