Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n^{p}}{e^{n}}(p>0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{n^{p}}{e^{n}},\qquad p>0,
converge ou diverge quando n\to\infty. Se convergir, calcular o limite. Informações dadas:
  • p é um parâmetro fixo e positivo.
  • n é um inteiro que tende a +\infty.
    A pergunta concreta é: existe \lim_{n\to\infty} a_{n}? Se sim, qual é esse valor?

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): comparar o crescimento de n^{p} (polinomial) com o de e^{n} (exponencial). Intuição comum: exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, então a fração deve ir para zero. Para transformar essa intuição em prova rigorosa vou usar um método elementar e direto: estudar a razão entre termos consecutivos a_{n+1}/a_n. Esse método é simples de aplicar em prova/avaliação e não exige cálculo avançado.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos. Escrevo explicitamente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^p}{e^{\,n+1}}}{\dfrac{n^p}{e^{\,n}}} = \frac{(n+1)^p}{n^p}\cdot\frac{e^{\,n}}{e^{\,n+1}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}\cdot e^{-1}.
Portanto
r_n:=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p}.

Passo 4

Analisar o limite de r_n. Como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{p}\to 1 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} r_n = \frac{1}{e}\cdot 1 = \frac{1}{e}.
Como \dfrac{1}{e}<1, existe um número r tal que
\frac{1}{e} < r < 1.
Pela convergência de r_n para 1/e, existe N tal que para todo n\ge N vale r_n \le r. Ou seja, a partir de algum índice a razão entre termos consecutivos é no máximo r<1.

Passo 5

Usar a desigualdade iterativamente para obter decaimento geométrico. Como todos os a_n são não-negativos, para n\ge N e k\ge 0 obtém-se por multiplicação:
a_{n+k} \le r^{k} a_n.
Em particular, tomando n=N,
a_{N+k} \le r^{k} a_N.
Como 0<r<1, temos \lim_{k\to\infty} r^{k}=0. Pela desigualdade do sanduíche (ou comparação direta), segue
\lim_{k\to\infty} a_{N+k}=0.
Isso implica \lim_{n\to\infty} a_n=0. Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 6

Comentário didático / alternativa curta (opcional): outra forma comum de provar é notar que a função contínua f(x)=x^{p}e^{-x} tem \lim_{x\to\infty} f(x)=0; isso pode ser mostrado por regra de l’Hôpital aplicando-a repetidas vezes (derivando o numerador p vezes) ou usando a expansão em série de e^{x}. A versão com a série é bem direta: e^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{n^{k}}{k!}\ge \dfrac{n^{m}}{m!} para qualquer inteiro m. Escolhendo um inteiro m>p obtém-se
a_n=\frac{n^{p}}{e^{n}}\le\frac{n^{p}}{n^{m}/m!}=m!\,n^{p-m}\to 0
quando n\to\infty, pois p-m<0. Essa prova não usa cálculo diferencial e é muito elegante.

Passo 7

Resumo final da demonstração: por comparação das razões entre termos consecutivos (ou pelas alternativas mostradas), conclui-se que para todo p>0 a sequência a_n=\dfrac{n^{p}}{e^{n}} tende a zero quando n\to\infty. Então a sequência converge e o limite é 0.

Resposta

0

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