Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge quando
. Se convergir, calcular o limite. Informações dadas:
-
é um parâmetro fixo e positivo. -
é um inteiro que tende a .
A pergunta concreta é: existe? Se sim, qual é esse valor?
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): comparar o crescimento de
(polinomial) com o de
(exponencial). Intuição comum: exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, então a fração deve ir para zero. Para transformar essa intuição em prova rigorosa vou usar um método elementar e direto: estudar a razão entre termos consecutivos
. Esse método é simples de aplicar em prova/avaliação e não exige cálculo avançado.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos. Escrevo explicitamente:
Portanto
Passo 4
Analisar o limite de
. Como
quando
, segue que
Como
, existe um número
tal que
Pela convergência de
para
, existe
tal que para todo
vale
. Ou seja, a partir de algum índice a razão entre termos consecutivos é no máximo
.
Passo 5
Usar a desigualdade iterativamente para obter decaimento geométrico. Como todos os
são não-negativos, para
e
obtém-se por multiplicação:
Em particular, tomando
,
Como
, temos
. Pela desigualdade do sanduíche (ou comparação direta), segue
Isso implica
. Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 6
Comentário didático / alternativa curta (opcional): outra forma comum de provar é notar que a função contínua
tem
; isso pode ser mostrado por regra de l’Hôpital aplicando-a repetidas vezes (derivando o numerador
vezes) ou usando a expansão em série de
. A versão com a série é bem direta:
para qualquer inteiro
. Escolhendo um inteiro
obtém-se
quando
, pois
. Essa prova não usa cálculo diferencial e é muito elegante.
Passo 7
Resumo final da demonstração: por comparação das razões entre termos consecutivos (ou pelas alternativas mostradas), conclui-se que para todo
a sequência
tende a zero quando
. Então a sequência converge e o limite é
.
Resposta
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