Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede):
- A sequência é
. (Vou usar a notação matemática em TeX: representa a função seno.) - O objetivo é determinar se a sequência converge ou diverge.
- Se houver convergência, calcular o limite
.
Informações relevantes dadas:
- Fórmula da sequência:
. - O índice
tende a .
Passo 2
Transformar a expressão para conectar com um limite conhecido.
Observação útil: escrever
de forma a aparecer a forma
, cuja convergência em
é um limite clássico.
Calcule:
Agora defina
. Então
quando
, e
Portanto basta estudar o limite quando
da função
avaliada em
.
Passo 3
Lembrar e provar o limite conhecido
Vou demonstrar isso com uma desigualdade tipo “squeeze” (teorema do aperto), válida para
real próximo de zero, tomando
(o caso
é análogo por simetria do seno).
Há uma desigualdade clássica, para
:
Dividindo essa tripla desigualdade por
(positivo) e lembrando que
, obtemos
Logo, para
,
Agora aplicamos o teorema do aperto: sabemos que
Pelo aperto, segue
Comentário didático rápido sobre a desigualdade usada: a desigualdade
é uma relação clássica que pode ser obtida por um argumento geométrico no círculo unitário ou por analisar a função
e sua derivada; o importante aqui é que, por essa desigualdade,
fica “presas” entre
e
, e ambos tendem a
quando
.
Passo 4
Aplicar o resultado ao caso da sequência.
Temos
quando
. Como
, então avaliando em
obtemos
Justificação formal: se
e
, então a sequência
converge para
.
Passo 5
Interpretação e verificação por aproximação (intuição extra para a prova):
Para ter uma sensação numérica, para
grande usa-se a aproximação de pequeno ângulo
. Tomando
,
o que mostra que
fica muito próximo de
e tende para
quando
. Isso confirma a conclusão anterior e dá a taxa aproximada de aproximação: o erro é da ordem de
.
Resposta
1