Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=n \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):
  • A sequência é a_{n}=n\operatorname{sen} \dfrac{1}{n}. (Vou usar a notação matemática \sin em TeX: \sin representa a função seno.)
  • O objetivo é determinar se a sequência converge ou diverge.
  • Se houver convergência, calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula da sequência: a_{n}=n\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • O índice n tende a +\infty.

Passo 2

Transformar a expressão para conectar com um limite conhecido.
Observação útil: escrever a_n de forma a aparecer a forma \dfrac{\sin x}{x}, cuja convergência em x\to 0 é um limite clássico.
Calcule:
a_{n}=n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) =\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}.
Agora defina x_n=\dfrac{1}{n}. Então x_n\to 0 quando n\to\infty, e
a_n=\frac{\sin x_n}{x_n}.
Portanto basta estudar o limite quando x\to 0 da função
f(x)=\frac{\sin x}{x}
avaliada em x=x_n.

Passo 3

Lembrar e provar o limite conhecido
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vou demonstrar isso com uma desigualdade tipo “squeeze” (teorema do aperto), válida para x real próximo de zero, tomando x>0 (o caso x<0 é análogo por simetria do seno).
Há uma desigualdade clássica, para 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
\sin x < x < \tan x.
Dividindo essa tripla desigualdade por x (positivo) e lembrando que \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, obtemos
\frac{\sin x}{x} < 1 \qquad\text{e}\qquad \frac{\sin x}{x} > \cos x.
Logo, para 0<x<\tfrac{\pi}{2},
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora aplicamos o teorema do aperto: sabemos que
\lim_{x\to 0}\cos x = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} 1 = 1.
Pelo aperto, segue
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Comentário didático rápido sobre a desigualdade usada: a desigualdade \sin x < x < \tan x é uma relação clássica que pode ser obtida por um argumento geométrico no círculo unitário ou por analisar a função g(x)=x-\sin x e sua derivada; o importante aqui é que, por essa desigualdade, \dfrac{\sin x}{x} fica “presas” entre \cos x e 1, e ambos tendem a 1 quando x\to 0.

Passo 4

Aplicar o resultado ao caso da sequência.
Temos x_n=\dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Como \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, então avaliando em x_n obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin x_n}{x_n} =1.
Justificação formal: se x_n\to 0 e \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, então a sequência \dfrac{\sin x_n}{x_n} converge para 1.

Passo 5

Interpretação e verificação por aproximação (intuição extra para a prova):
Para ter uma sensação numérica, para n grande usa-se a aproximação de pequeno ângulo \sin y \approx y - \dfrac{y^3}{6}. Tomando y=\dfrac{1}{n},
a_n = n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) \approx n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}\right) =1-\frac{1}{6n^2},
o que mostra que a_n fica muito próximo de 1 e tende para 1 quando n\to\infty. Isso confirma a conclusão anterior e dá a taxa aproximada de aproximação: o erro é da ordem de \dfrac{1}{n^2}.

Resposta

1

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