Considere a sequência \left(x_{n}\right) dada por:
x_{1}=4 \text { e } x_{n}=\frac{x_{n-1}}{2}+\frac{1}{x_{n-1}} \text { para } n>1
a) Mostre que ( x_{n} ) é decrescente.
b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
c) Conclua que ( x_{n} ) é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_{n}\bigr) por
x_{1}=4, \quad x_{n}=\frac{x_{n-1}}{2}+\frac{1}{x_{n-1}} \quad(n>1).
O que vamos usar é o seguinte: provar que \bigl(x_{n}\bigr) é monótona decrescente e limitada inferiormente, aplicar o Teorema de Convergência de sequências monotoneamente convergentes e, finalmente, achar o limite L resolvendo a equação fixa L=\tfrac{L}{2}+\tfrac1L.

Passo 2

Provar que x_{n} é limitada inferiormente por \sqrt{2}.
Considere a função
f(x)=\frac{x}{2}+\frac1x,\quad x>0.
Calculamos
f'(x)=\frac12-\frac{1}{x^2},
que zera em x=\sqrt{2}. Logo f atinge mínimo em x=\sqrt2 e
f(x)\ge f(\sqrt2) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{\sqrt2} =\sqrt2.
Como x_{1}=4>\sqrt2 e x_{n}=f(x_{n-1})\ge \sqrt2, segue por indução que
x_{n}\ge\sqrt2 \quad\forall n.

Passo 3

Mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) é decrescente.
Queremos x_{n+1}\le x_{n}, isto é
\frac{x_{n}}{2}+\frac1{x_{n}}\le x_{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac12+\frac{1}{x_{n}^2}\le1 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{n}^2\ge2.
Como já vimos que x_{n}\ge\sqrt2, temos x_{n}^2\ge2 e, portanto,
x_{n+1}\le x_{n} \quad\forall n,
ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 4

Concluir convergência e encontrar o limite.
Pela monotonia decrescente conjunta à limitação inferior, \bigl(x_{n}\bigr) converge. Seja
L=\lim_{n\to\infty}x_{n}.
No limite a relação de recorrência vira
L=\frac{L}{2}+\frac{1}{L}.
Multiplicando por L obtemos
L^2=\frac{L^2}{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{L^2}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad L^2=2 \quad\Longrightarrow\quad L=\sqrt2,
descartando a raiz negativa pois x_n>0.

Resposta

a) \bigl(x_{n}\bigr) é decrescente.
b) \bigl(x_{n}\bigr) é limitada inferiormente por \sqrt2.
c) \bigl(x_{n}\bigr) é convergente e
\lim_{n\to\infty}x_{n}=\sqrt2.

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