Considere a sequência
dada por:
a) Mostre que (
) é decrescente.
b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
c) Conclua que (
) é convergente e calcule seu limite.
b) Mostre que ela é limitada inferiormente.
c) Conclua que (
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O que vamos usar é o seguinte: provar que
é monótona decrescente e limitada inferiormente, aplicar o Teorema de Convergência de sequências monotoneamente convergentes e, finalmente, achar o limite
resolvendo a equação fixa
.
Passo 2
Provar que
é limitada inferiormente por
.
Considere a função
Considere a função
Calculamos
que zera em
. Logo
atinge mínimo em
e
Como
e
, segue por indução que
Passo 3
Mostrar que
é decrescente.
Queremos , isto é
Queremos
Como já vimos que
, temos
e, portanto,
ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 4
Concluir convergência e encontrar o limite.
Pela monotonia decrescente conjunta à limitação inferior, converge. Seja
Pela monotonia decrescente conjunta à limitação inferior,
No limite a relação de recorrência vira
Multiplicando por
obtemos
descartando a raiz negativa pois
.
Resposta
a)
é decrescente.
b) é limitada inferiormente por
.
c) é convergente e
b)
c)