Responda o que se pede:
a) Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de números reais. Prove que, se x_{n}>0 para todo natural n e \lim \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l<1, então \lim x_{n}=0.
b) Use o resultado do item a) para mostrar que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n!}{n^{n}}=0.
c) Use o fato do item a) para mostrar que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{c^{n}}{n!}=0, onde c é uma constante real.

Passo 1

O enunciado pede provar que, se (x_n) é uma sequência de números reais positivos com
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=l<1,
então \lim_{n\to\infty}x_n=0. Em seguida, aplicar esse resultado às sequências \frac{n!}{n^n} e \frac{c^n}{n!}. O conteúdo é o critério da razão para sequências.

Passo 2

Demonstração do item a): como \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=l<1, escolha r tal que l<r<1. Pela definição de limite, existe N com
\frac{x_{n+1}}{x_n}<r \quad\text{para todo }n\ge N.
Logo, para k\ge0,
x_{N+k} = x_N\;\frac{x_{N+1}}{x_N}\;\frac{x_{N+2}}{x_{N+1}}\cdots\frac{x_{N+k}}{x_{N+k-1}} < x_N\,r^k.
Como r^k\to0 quando k\to\infty, segue que x_{N+k}\to0 e, portanto, \lim_{n\to\infty}x_n=0.

Passo 3

Aplicação ao item b): defina
x_n = \frac{n!}{n^n}.
Calcula-se
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n} = \frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n = \Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)^n.
Como \bigl(1-\tfrac{1}{n+1}\bigr)^n\to e^{-1}<1, pelo item a) conclui-se \lim_{n\to\infty}x_n=0.

Passo 4

Aplicação ao item c): defina
y_n = \frac{c^n}{n!}.
Temos
\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1},
e claramente \tfrac{c}{n+1}\to0<1. Pelo item a) segue \lim_{n\to\infty}y_n=0.

Resposta

(a) \lim_{n\to\infty} x_n = 0.\n(b) \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0.\n(c) \lim_{n\to\infty} \frac{c^n}{n!} = 0.

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