Mostre que:
\lim 5 x^{3}-4 n^{2}+7=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to+\infty}\bigl(5n^{3}-4n^{2}+7\bigr)=+\infty,
ou seja, usando a definição: dado qualquer M>0, devemos encontrar um N tal que, para todo n>N,
5n^{3}-4n^{2}+7 > M.

Passo 2

Observe que, para n\ge1, vale
5n^{3}-4n^{2}+7 \;\ge\; 5n^{3}-4n^{2} \;=\;n^{2}(5n-4).
E, como n\ge1, temos 5n-4\ge1. Logo, para todo n\ge1,
5n^{3}-4n^{2}+7 \;\ge\; n^{2}.
Portanto basta garantir que n^{2}>M, pois daí 5n^{3}-4n^{2}+7\ge n^{2}>M.

Passo 3

Dado M>0, escolha
N = \max\{\,1,\sqrt{M}\}.
Então, se n>N, temos n>\sqrt{M} e n\ge1. Assim
5n^{3}-4n^{2}+7 \;\ge\; n^{2} \;>\; M,
como queríamos.

Resposta

\lim_{n\to+\infty}\bigl(5n^{3}-4n^{2}+7\bigr)=+\infty.

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