Mostre que:
\lim \left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+h}\right)=+\infty, \operatorname{com} h \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para cada h\in\mathbb{N} fixo, a sequência
a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+h}
tende a +\infty quando n\to\infty. O conteúdo é análise de limite de sequência que diverge, usando manipulação algébrica (racionalização).

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
a_{n} =\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+h} =\frac{\bigl(n^{2}+1\bigr)-\bigl(n+h\bigr)}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n+h}} =\frac{n^{2}-n-(h-1)}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n+h}}.

Passo 3

Para n grande, o numerador comporta-se como n^{2} e o denominador como n. Mais precisamente, para n\ge 2\max\{h,1\} temos
n^{2}-n-(h-1)\ge \tfrac12\,n^{2}, \quad \sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n+h}\le n+1 + \sqrt{n+h}\le n + n + C = 2n + C
para alguma constante C. Logo, existe N tal que para todo n\ge N
a_{n} \ge \frac{\tfrac12\,n^{2}}{2n+C} \ge \frac{\tfrac12\,n^{2}}{3n} =\frac{1}{6}\,n.
Como \tfrac{1}{6}n\to+\infty, segue que a_{n}\to+\infty.

Resposta

+\infty

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