Considere a sequência an=n+3n^3+4.
(a) Mostre que a sequência é monotona.
(b) Mostre que an<4n^2 para todo n>1.
(c) Demonstre que o limite da sequência an=n+3n^3+4 existe.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=n+3n^3+4
e pede:
  1. Mostrar que (an) é monotona.
  2. Mostrar que
an<4n^2para todo n>1
  1. Concluir que limntoinftyan existe.
    Vamos usar comparação de frações para monotonicidade e desigualdade, e depois o teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Para mostrar que (an) é decrescente, basta verificar que
an+1<an
para todo n>=1. Como os denominadores são positivos, fazemos cruzamentos:
n+4(n+1)^3+4<n+3n^3+4 iff (n+4)(n^3+4)<(n+3)l((n+1)^3+4r)
Calculemos cada produto:
(n+4)(n^3+4)=n^4+4n^3+4n+16,
(n+3)l((n+1)^3+4r) =(n+3)(n^3+3n^2+3n+1+4) =n^4+6n^3+12n^2+14n+15
Subtraindo,
(n+3)l((n+1)^3+4r);-;(n+4)(n^3+4) =2n^3+12n^2+10n-1,
que é positivo para todo n>=1. Logo an+1<an e a sequência é decrescente.

Passo 3

Queremos mostrar que
n+3n^3+4<4n^2 para n>1
Multiplicando em cruz (todos os termos positivos):
n^2(n+3)<4(n^3+4) iff n^3+3n^2<4n^3+16 iff 0<3n^3-3n^2+16 iff 3n^2(n-1)+16>0,
que é claro para n>1. Assim an<4/n^2.

Passo 4

Já temos que (an) é decrescente e, como n>0, é também positiva. Portanto está limitada inferiormente por 0. Pelo teorema da convergência de sequências monotona e limitada, limntoinftyan existe. Observando o termo geral, fica evidente que
limntoinftyn+3n^3+4=0

Resposta

A sequência é decrescente e satisfaz an<4/n^2 para n>1. Por ser positiva e decrescente, converge, e
limntoinftyan=0

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