Considere a sequência
.
(a) Mostre que a sequência é monotona.
(b) Mostre que
para todo
.
(c) Demonstre que o limite da sequência
existe.
(a) Mostre que a sequência é monotona.
(b) Mostre que
(c) Demonstre que o limite da sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
- Mostrar que
é monotona. - Mostrar que
- Concluir que
existe.
Vamos usar comparação de frações para monotonicidade e desigualdade, e depois o teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Para mostrar que
é decrescente, basta verificar que
para todo
. Como os denominadores são positivos, fazemos cruzamentos:
Calculemos cada produto:
Subtraindo,
que é positivo para todo
. Logo
e a sequência é decrescente.
Passo 3
Queremos mostrar que
Multiplicando em cruz (todos os termos positivos):
que é claro para
. Assim
.
Passo 4
Já temos que
é decrescente e, como
, é também positiva. Portanto está limitada inferiormente por
. Pelo teorema da convergência de sequências monotona e limitada,
existe. Observando o termo geral, fica evidente que
Resposta
A sequência é decrescente e satisfaz
para
. Por ser positiva e decrescente, converge, e