Considere a sequência
.
A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine - limite da sequência.
A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine - limite da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
, ou seja, saber se ela tem limite finito e, em caso afirmativo, qual é esse limite. O conteúdo envolve propriedades comparativas de crescimentos de fatoriais e exponenciais e o uso do teste da razão para sequências.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, calculamos
. Temos
Passo 3
Como
, pelo teste da razão a sequência converge.
Passo 4
Uma vez que a sequência converge e a razão tende a zero, isso implica que os termos
vão a zero. Geometricamente, o fatorial cresce muito mais rápido do que a potência, “achatando” os termos. Logo,
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.