Considere a sequência (3^nn!)n in N.
A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine - limite da sequência.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência an = 3^nn!, ou seja, saber se ela tem limite finito e, em caso afirmativo, qual é esse limite. O conteúdo envolve propriedades comparativas de crescimentos de fatoriais e exponenciais e o uso do teste da razão para sequências.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, calculamos limntoinfty an+1an. Temos
an+1an = 3^n+1/(n+1)!3^n/n! = 3^n+13^n cdot n!(n+1)! = 3 cdot 1n+1 = 3n+1

Passo 3

Como limntoinfty 3n+1 = 0 < 1, pelo teste da razão a sequência converge.

Passo 4

Uma vez que a sequência converge e a razão tende a zero, isso implica que os termos an vão a zero. Geometricamente, o fatorial cresce muito mais rápido do que a potência, “achatando” os termos. Logo,
limntoinfty 3^nn! = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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