Obtenha uma equação da reta tangente à curva 9 x^3+8 y^3=1 no ponto (1,-1).

Passo 1

A gente tem uma curva definida implicitamente por 9x³+8y³=1 e quer a reta tangente no ponto (1,−1). O conteúdo da matéria é derivação implícita para achar dy/dx e depois usar a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de 9x³+8y³=1 em relação a x usamos a regra da cadeia em y:
ddx(9x^3)+ddx(8y^3)=ddx(1)
27x^2 + 8cdot3y^2,y' = 0
Ou seja:
27x^2 +24y^2,y'=0

Passo 3

Isolamos y’ na equação 27x²+24y²y’=0. Subtraindo 27x² e dividindo por 24y² temos:
y'=-27x^224y^2=-98x^2y^2

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto (1,−1). Substituindo x=1 e y=−1 em y’:
y'|(1,-1)=-981^2(-1)^2=-98
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 5

Para obter a equação da reta, usamos a forma ponto-inclinação:
y-y0=m(x-x0)
Substituindo (x₀,y₀)=(1,−1) e m=−9/8:
y+1=-98(x-1)
Isolando y:
y=-98x+98-1=-98x+18

Resposta

y = -\frac{9}{8}x + \frac{1}{8}

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