Obtenha uma equação da reta tangente à curva
no ponto (1,-1).
Passo 1
A gente tem uma curva definida implicitamente por 9x³+8y³=1 e quer a reta tangente no ponto (1,−1). O conteúdo da matéria é derivação implícita para achar dy/dx e depois usar a forma ponto-inclinação da reta tangente.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados de 9x³+8y³=1 em relação a x usamos a regra da cadeia em y:
Ou seja:
Passo 3
Isolamos y’ na equação 27x²+24y²y’=0. Subtraindo 27x² e dividindo por 24y² temos:
Passo 4
Agora avaliamos a derivada no ponto (1,−1). Substituindo x=1 e y=−1 em y’:
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.
Passo 5
Para obter a equação da reta, usamos a forma ponto-inclinação:
Substituindo (x₀,y₀)=(1,−1) e m=−9/8:
Isolando y:
Resposta
y = -\frac{9}{8}x + \frac{1}{8}