1. Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
    (a) z=ln raizx^2 e^2 y+x^2 e^-2 y
    (b) z=ln ((e^x+y^2)^2+x^2+y)
    © z=x^2 cos ^2 y+2 x^2 sin y cos y+x^2 sin ^2 y
    (d) z=raizx+y^2+(x^2 e^-2 y)^3

Passo 1

O exercício pede para escrever cada função como composição de funções e aplicar a regra da cadeia para achar ∂z/∂x e ∂z/∂y. O conteúdo é derivadas parciais e regra da cadeia: vamos decompor em funções auxiliares e depois usar ∂f(g(x,y))/∂x = f′(g(x,y))·∂g/∂x (e análogo para y).

Passo 2

Para (a) definimos as funções auxiliares
u = x^2 e^2y + x^2 e^-2y,
v = raizu,
z = ln v
Aplicando a regra da cadeia:
z = ln v implies partial zpartial v = 1v,
v = u^1/2 implies partial vpartial u = 12 u^-1/2,
u = x^2(e^2y+e^-2y)
Calculamos
partial upartial x = 2x(e^2y+e^-2y),
partial upartial y = x^2(2e^2y-2e^-2y)
Então
partial zpartial x = 1vcdot12 u^-1/2cdot2x(e^2y+e^-2y) = x(e^2y+e^-2y)ucdot1raizu = 1x,
partial zpartial y = 1vcdot12 u^-1/2cdot x^2(2e^2y-2e^-2y) = e^2y-e^-2ye^2y+e^-2y

Passo 3

Para (b) definimos
u = (e^x+y^2)^2 + x^2 + y,
z = ln u
Regra da cadeia: ∂z/∂x = (1/u)·∂u/∂x e ∂z/∂y = (1/u)·∂u/∂y. Calculamos
partial upartial x = 2e^x+y^2cdot e^x+y^2 + 2x = 2e^2(x+y^2) +2x,
Portanto
partial upartial y = 2(e^x+y^2)^2cdot ycdot2? Atenção: (e^x+y^2)^2'=2e^x+y^2·e^x+y^2·2y =4y e^2(x+y^2) +1
partial zpartial x = 2e^2(x+y^2)+2x(e^x+y^2)^2 + x^2 + y,

Passo 4

Para © note que
z = x^2cos^2y +2x^2sin ycos y + x^2sin^2y = x^2(cos^2y+sin^2y +2sin ycos y) = x^2(1+sin2y)
Aí é só derivar
partial zpartial x = 2x(1+sin2y),
partial zpartial y = x^2cdot2cos2y = 2x^2cos2y

Passo 5

Para (d) definimos
w = x + y^2 + (x^2 e^-2y)^3 = x + y^2 + x^6 e^-6y,
z = raizw = w^1/2
Pela regra da cadeia
partial zpartial x = 12 w^-1/2cdotpartial wpartial x,
partial zpartial y = 12 w^-1/2cdotpartial wpartial y
E
partial wpartial x = 1 +6x^5 e^-6y,
partial wpartial y = 2y -6x^6 e^-6y
Logo
partial zpartial x = 1+6x^5 e^-6y2raizw,
partial zpartial y = 2y -6x^6 e^-6y2raizw

Resposta

(a) ∂z/∂x = 1/x, ∂z/∂y = (e{2y}-e{-2y})/(e{2y}+e{-2y}).
(b) ∂z/∂x = [2e{2(x+y2)}+2x]/[(e{x+y2})2+x2+y], ∂z/∂y = [4y e{2(x+y2)}+1]/[(e{x+y2})2+x2+y].
© ∂z/∂x = 2x(1+sin2y), ∂z/∂y = 2x^2 cos2y.
(d) Com w = x+y2+x6 e^{-6y}, ∂z/∂x = (1+6x^5 e^{-6y})/(2√w), ∂z/∂y = (2y-6x^6 e^{-6y})/(2√w).

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