- Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O exercício pede para escrever cada função como composição de funções e aplicar a regra da cadeia para achar ∂z/∂x e ∂z/∂y. O conteúdo é derivadas parciais e regra da cadeia: vamos decompor em funções auxiliares e depois usar ∂f(g(x,y))/∂x = f′(g(x,y))·∂g/∂x (e análogo para y).
Passo 2
Para (a) definimos as funções auxiliares
Aplicando a regra da cadeia:
Calculamos
Então
Passo 3
Para (b) definimos
Regra da cadeia: ∂z/∂x = (1/u)·∂u/∂x e ∂z/∂y = (1/u)·∂u/∂y. Calculamos
Portanto
Passo 4
Para © note que
Aí é só derivar
Passo 5
Para (d) definimos
Pela regra da cadeia
E
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Resposta
(a) ∂z/∂x = 1/x, ∂z/∂y = (e{2y}-e{-2y})/(e{2y}+e{-2y}).
(b) ∂z/∂x = [2e{2(x+y2)}+2x]/[(e{x+y2})2+x2+y], ∂z/∂y = [4y e{2(x+y2)}+1]/[(e{x+y2})2+x2+y].
© ∂z/∂x = 2x(1+sin2y), ∂z/∂y = 2x^2 cos2y.
(d) Com w = x+y2+x6 e^{-6y}, ∂z/∂x = (1+6x^5 e^{-6y})/(2√w), ∂z/∂y = (2y-6x^6 e^{-6y})/(2√w).
(b) ∂z/∂x = [2e{2(x+y2)}+2x]/[(e{x+y2})2+x2+y], ∂z/∂y = [4y e{2(x+y2)}+1]/[(e{x+y2})2+x2+y].
© ∂z/∂x = 2x(1+sin2y), ∂z/∂y = 2x^2 cos2y.
(d) Com w = x+y2+x6 e^{-6y}, ∂z/∂x = (1+6x^5 e^{-6y})/(2√w), ∂z/∂y = (2y-6x^6 e^{-6y})/(2√w).