Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(b) ( ) é uma sequência limitada, então é convergente;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se toda sequência limitada gera, ao dividirmos por , uma sequência convergente. Vamos usar a definição de sequência limitada e o Teorema do Confronto para limites de sequências.
Passo 2
Por definição, a sequência é limitada se existe constante tal que para todo vale
Passo 3
Dividindo ambos os lados da desigualdade por , obtemos
$$\left|\frac{a_n}{n^3}\right|\le \frac{M}{n^3}.
$$ Sabemos também, por cálculo de limites de funções-padrão, que
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, já que e o termo superior tende a zero, concluímos que