Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(b) ( ) Se(an)n in N é uma sequência limitada, então (ann^3)n in N é convergente;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se toda sequência limitada (an)ninN gera, ao dividirmos por n^3, uma sequência convergente. Vamos usar a definição de sequência limitada e o Teorema do Confronto para limites de sequências.

Passo 2

Por definição, a sequência (an) é limitada se existe constante M>0 tal que para todo n vale
|an|<= M

Passo 3

Dividindo ambos os lados da desigualdade por n^3>0, obtemos
$$\left|\frac{a_n}{n^3}\right|\le \frac{M}{n^3}.
$$ Sabemos também, por cálculo de limites de funções-padrão, que
|ann^3|<= Mn^3

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, já que 0<=|ann^3|<=Mn^3 e o termo superior tende a zero, concluímos que
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=0.
$$ Logo, limntoinftyann^3=0 é convergente.

Resposta

Verdadeira.

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