Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
© ( ) A sequência
é convergente;
© ( ) A sequência
Passo 1
O exercício pede para avaliar se a sequência
, com
, é convergente. O conteúdo aqui é convergência de sequências reais: vamos usar a definição de limite de sequência e o critério de análise de subsequências.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
. Isso mostra que os termos da sequência alternam entre
(quando
é par) e
(quando
é ímpar).
Passo 3
Considere as seguintes subsequências:
, que converge para
;
e
, que converge para
.
Pelo fato de as duas subsequências convergirem a limites diferentes, não pode existir um único limite para a sequência original.
e
Pelo fato de as duas subsequências convergirem a limites diferentes, não pode existir um único limite
Passo 4
Como não há um único valor
que seja limite de todas as subsequências, concluímos que
não converge. Portanto, a afirmação de que a sequência é convergente é falsa.
Resposta
Falsa