Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
© ( ) A sequência (an)=(cos n pi), n in N, é convergente;

Passo 1

O exercício pede para avaliar se a sequência an = cos(npi), com n in N, é convergente. O conteúdo aqui é convergência de sequências reais: vamos usar a definição de limite de sequência e o critério de análise de subsequências.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos(npi)=(-1)^n. Isso mostra que os termos da sequência alternam entre 1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar).

Passo 3

Considere as seguintes subsequências:
a2k = (-1)^2k = 1, que converge para 1;
e
a2k+1 = (-1)^2k+1 = -1, que converge para -1.
Pelo fato de as duas subsequências convergirem a limites diferentes, não pode existir um único limite L para a sequência original.

Passo 4

Como não há um único valor L que seja limite de todas as subsequências, concluímos que an não converge. Portanto, a afirmação de que a sequência é convergente é falsa.

Resposta

Falsa

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