Considere a sequência
a1 & =raiz2 a2 & =raiz2 raiz2 a3 & =raiz2 raiz2 raiz2 vdots & =vdots
Calcule lim n infty an.
11. Determine o sup e o inf das seguintes sequências
a) an=-n^2+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas questões aqui:
  1. Calcular o limite da sequência definida por:
    a1 & =raiz2 a2 & =raiz2 raiz2 a3 & =raiz2 raiz2 raiz2 vdots & =vdots
    Aqui, estamos lidando com uma sequência recursiva envolvendo radicais.
  2. Determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência an = -n^2 + n.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte 1: Calculando o limite da sequência
Primeiro, vamos focar no limite da sequência an conforme n tende ao infinito. Observamos que a sequência envolve uma série infinita de radicais, mas podemos simplificar isso pensando em uma sequência convergente.
Vamos supor que a sequência converge para um valor L. Então, podemos escrever:
L = raiz2 cdot L

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar L.
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
L^2 = 2 cdot L

Passo 4

Subtraindo 2L de ambos os lados:
L^2 - 2L = 0
Fatorando:
L(L - 2) = 0

Passo 5

Então, as soluções são:
L = 0 ou L = 2
Mas, como estamos lidando com uma sequência de números positivos (porque envolve raízes quadradas), descartamos L = 0. Portanto, o limite da sequência é 2.

Passo 6

Parte 2: Determinando o supremo e o ínfimo da sequência an = -n^2 + n
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência conforme n aumenta.
A sequência é definida por:
an = -n^2 + n = -n(n - 1)

Passo 7

Vamos observar os termos para alguns valores de n:
  • Para n = 1: a1 = -1(1 - 1) = 0
  • Para n = 2: a2 = -2(2 - 1) = -2
  • Para n = 3: a3 = -3(3 - 1) = -6
  • E assim por diante.
É claro que, à medida que n aumenta, an se torna cada vez mais negativo.

Passo 8

Supremo (sup):
O supremo é o menor limite superior da sequência. Observando os termos:
  • O maior valor ocorre em n = 1, onde a1 = 0.
Portanto, o supremo da sequência é 0.
Ínfimo (inf):
O ínfimo é o maior limite inferior da sequência. Como a sequência tende a -infty conforme n aumenta, não há um menor limite. Portanto, o ínfimo da sequência é -infty.

Resposta

  1. O limite da sequência an conforme n tende ao infinito é 2.
  2. Para a sequência an = -n^2 + n, o supremo é 0 e o ínfimo é -infty.

Exercícios relacionados