Considere a sequência
Calcule
.
11. Determine o sup e o inf das seguintes sequências
a)
11. Determine o sup e o inf das seguintes sequências
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas questões aqui:
-
Calcular o limite da sequência definida por:Aqui, estamos lidando com uma sequência recursiva envolvendo radicais.
-
Determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência
.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte 1: Calculando o limite da sequência
Primeiro, vamos focar no limite da sequência
conforme
tende ao infinito. Observamos que a sequência envolve uma série infinita de radicais, mas podemos simplificar isso pensando em uma sequência convergente.
Vamos supor que a sequência converge para um valor
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Passo 5
Então, as soluções são:
Mas, como estamos lidando com uma sequência de números positivos (porque envolve raízes quadradas), descartamos
. Portanto, o limite da sequência é 2.
Passo 6
Parte 2: Determinando o supremo e o ínfimo da sequência
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência conforme
aumenta.
A sequência é definida por:
Passo 7
Vamos observar os termos para alguns valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
É claro que, à medida que
aumenta,
se torna cada vez mais negativo.
Passo 8
Supremo (sup):
O supremo é o menor limite superior da sequência. Observando os termos:
- O maior valor ocorre em
, onde .
Portanto, o supremo da sequência é 0.
Ínfimo (inf):
O ínfimo é o maior limite inferior da sequência. Como a sequência tende a
conforme
aumenta, não há um menor limite. Portanto, o ínfimo da sequência é
.
Resposta
-
O limite da sequência
conforme tende ao infinito é 2. -
Para a sequência
, o supremo é 0 e o ínfimo é .