Série Geométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma: sumn=0^infty 13^n
14. Teste da Comparação: Determine a convergência ou divergência da seguinte série usando o Teste da Comparação:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+3}{n^{3}+5}
$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Comparação para descobrir se a série sumn=1^infty 2n + 3n^3 + 5 converge ou diverge. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento, geralmente uma série p.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. O numerador é 2nn^3 = 2n^2 e o denominador é . Para grandes valores de , o termo dominante no numerador é e no denominador é . Então, a fração se comporta aproximadamente como:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série é uma série p com , que sabemos que converge porque .

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries. Precisamos encontrar uma constante 2n + 3n^3 + 5 <= C cdot 1n^2 tal que:
2n + 3 <= 5n e n^3 + 5 >= n^3
Para simplificar, podemos notar que para 2n + 3n^3 + 5 <= 5nn^3 = 5n^2 :
Assim,
Aqui, escolhemos .

Passo 5

Como converge e nossos termos são menores ou iguais a , pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n + 3n^3 + 5 converge pelo Teste da Comparação.

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