Série Geométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
14. Teste da Comparação: Determine a convergência ou divergência da seguinte série usando o Teste da Comparação:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+3}{n^{3}+5}
$$
14. Teste da Comparação: Determine a convergência ou divergência da seguinte série usando o Teste da Comparação:
$$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento, geralmente uma série p.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da série. O numerador é
e o denominador é
. Para grandes valores de
, o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Então, a fração se comporta aproximadamente como:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série
é uma série p com
, que sabemos que converge porque
.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Precisamos encontrar uma constante
tal que:
Para simplificar, podemos notar que para
:
Assim,
Aqui, escolhemos
.
Passo 5
Como
converge e nossos termos são menores ou iguais a
, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.