Série de Potências de uma Função Dada: Expanda a função f(x)=11-2 x em uma série de potências.
35. Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a soma da série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n x^2n
Estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma variável elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como podemos usá-la para encontrar a soma dessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + dots
A soma dessa série converge para:
a1 - r quando |r| < 1
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a forma da série geométrica. Na nossa série:
sumn=0^infty (-1)^n x^2n
Podemos reescrever sumn=0^infty (-x^2)^n como . Assim, a série fica:
Agora, identifica-se que:
  • (pois quando , temos )

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
sumn=0^infty (-x^2)^n = 11 - (-x^2) = 11 + x^2
Isso é válido desde que a razão | -x^2 | = x^2 < 1 Rightarrow |x| < 1 satisfaça . No nosso caso:
Então, a soma da série converge para quando .

Resposta

A soma da série é:
11 + x^2

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