Série de Potências de uma Função Dada: Expanda a função
em uma série de potências.
35. Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
35. Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a soma da série de potências:
Estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma variável elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como podemos usá-la para encontrar a soma dessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
A soma dessa série converge para:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a forma da série geométrica. Na nossa série:
Podemos reescrever
como
. Assim, a série fica:
Agora, identifica-se que:
-
(pois quando , temos ) -
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Isso é válido desde que a razão
satisfaça
. No nosso caso:
Então, a soma da série converge para
quando
.
Resposta
A soma da série é: